Точная верхняя грань

[Allch1]

Дано множество $A = \left\lbrace0.9, 0.99, 0.999 ...\right\rbrace$. Если рассматривать А обособлено, а не как подмножество $A \subset R$, можно ли говорить о точной верхней грани? Порядок на множестве естественный. Единицы нет, но ее можно обозначить по аналогии с "несобственным числом" $\infty$, например, как 0.(9). Правомерно ли это?
В Зориче аккуратно $\subset R$ везде написано. В Фихтенгольце неаккуратно - возьмем бесконечное множество.
P.S. Прошу прощения, если этот вопрос покажется дилетантским.

[george66]

Нет, нельзя. Точная верхняя грань бывает у подмножества упорядоченного множества (по определению). Если брать множество "обособлено", у него может быть наибольший элемент (в данном случае его нет). Добавить новый элемент $\infty$ можно к любому упорядоченному множеству (например $\{1,2,3,4,5\ldots\}$), так что особого смысла в этом нет.

[wrest]

В математической энциклопедии под ред. Виноградова нет определения точной верхней (нижней) грани...

[Munin]

Неверно, есть. Достаточно поискать через предметный указатель: том 5, колонка 834. Это статья Частично упорядоченное множество.
Также том 1, колонка 673, статья Верхняя и нижняя грани - описан случай множеств на прямой.

[Allch1]

george66, спасибо за разъяснение.
Munin, спасибо за ссылку, надо обзавестись этой энциклопедией.

[Munin]

https://filecloud.me/download/folder/2215357
(Ссылка работает 7 дней. Файлы взяты из КолХоза.)