Можно ли так вывести нормальное уравнение прямой?

[boriska]

Вечер добрый! Можно ли так вывести нормальное уравнение прямой?



Пусть точки $M,N$, лежащие на прямой $l$, имеют координаты $M(A,B)$, $N(x,y)$

Точка $M$ выбрана на прямой $l$ так, чтобы угол $OMN$ был прямой. Тогда вектор $\vec{OM}=\vec{n}$ - вектор нормали к прямой.

$\vec{n}\cdot \vec{MN}=0$

$A(x-A)+B(x-B)=0$, тогда $Ax+By=A^2+B^2$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{A^2+B^2}$

$\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y=\sqrt{A^2+B^2}$


Обращая внимание на рисунок, замечаем, что $\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cos\alpha$, а $\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sin \alpha$

Тогда получаем, что уравнение прямой $l$ будет таким: $x\cos\alpha+y\sin\alpha=p$, где $p=\sqrt{A^2+B^2}$ - расстояние от начала координат до данной прямой.

Можно ли считать такое выводом нормального уравнения прямой?

[teleglaz]

boriska в сообщении #1375198 писал(а):

Можно ли считать такое выводом нормального уравнения прямой?

Примените ваш алгоритм для случая, когда прямая проходит через начало координат.

Вообще, не очень понятно, зачем вам это. Если у вас есть общее уравнение прямой, то перейти от него к нормированному уравнению можно поделив на длину нормали с нужным знаком. Так что лучше уметь выводить общее уравнение прямой (если очень хочется).

[boriska]

Про начало координат - да, согласен, нужно было отдельно рассмотреть случай. А Кстати, в случае с нормальным уравнением прямой - там ведь происхождение косинусов и синусов надо еще объяснять, а тут не нужно=)

[teleglaz]

boriska в сообщении #1375393 писал(а):

в случае с нормальным уравнением прямой - там ведь происхождение косинусов и синусов надо еще объяснять

Не очень понял о чём вы. Мы вроде как раз пока про нормальное и толкуем (оно же нормализованное, что мне кажется более удачным названием).
В любом случае нормализованное уравнение прямой имеет смысл только в декартовой системе координат. Так что происхождение косинусов вполне очевидно, если знать тригонометрию прямоугольного треугольника.