Количество степенных вычетов, порождённые отрезком

[fractalon]

В классическом доказательстве того, что по простому модулю $p$ есть ровно $\frac{p-1}{2}$ ненулевых квадратичных вычетов, используется тот факт, что квадраты чисел от $1$ до $\frac{p-1}{2}$ образуют эти самые вычеты (то есть все они различны), а квадраты остальных чисел с ними совпадают.

Естественно задаться вопросом - а будут ли все $k$-тые степени чисел от $1$ до $\frac{p-1}{k}$ различны для других $k$ (здесь и далее, конечно, предполагается, что $p \equiv 1 \pmod k$).

Оказывается, эксперименты показывают, что совсем нет. Для $k=3$ оказалось, что эти $\frac{p-1}{3}$ кубов принимают $\sim \frac{2}{3} \cdot \frac{p}{3}$ разных значений. Для $k=4$ на месте $\frac{2}{3}$ стоит $\frac{3}{4}$. И хотелось уже предположить долю $\frac{k-1}{k}$, что тоже было бы интересно, но вполне в духе степенных вычетов. Однако...
Для $k=5$ множитель другой, трудно интерпретируемый: $0.672011896923$. Можно подумать, что это недостремившееся $\frac{2}{3}$, но нет - дисперсия там маленькая и для остальных $k$ ситуация похожая. В общем, оказалось, что при росте $k$ этот множитель стремится к $1-e^{-1}$.

Конечно, я, увидев в десятичном виде $1-e^{-1}$, не понял, что это именно $1-e^{-1}$ поэтому пришлось продолжить эксперименты чтобы понять природу этой "магической константы". В итоге дошло до следующего предположения:

Цитата:

Для всякого $\delta > 0$ верно: $\lim \limits_{k \to \infty} \lim \limits_{p \to \infty} \frac{\# \left\lbrace{ x^k \pmod p\ :\ x \le \delta \frac{p}{k} }\right\rbrace }{\left({ \frac{p-1}{k} }\right)} = 1 - e^{-\delta}$

Собственно, вопрос - известно ли это науке и какие есть продвижения в данном вопросе?

P. S.: Подробно со множеством сдвигов не пробовал, но кажется, что интервал $[1;\delta \frac{k}{p}]$ вполне можно заменить на любой другой такой же длины.
Эксперименты проводились для $2 \cdot 10^5 \le p \le 4 \cdot 10^5$ и $k<100$

[a1981]

Начните с https://math.stackexchange.com/questions/1493041/the-number-of-e-th-power-residues-bmod-m и
http://www.mpia.de/~mathar/public/mathar20171110.pdf, там есть ряд частных результатов и гипотез в этом направлении

[fractalon]

a1981 в сообщении #1374286 писал(а):

Начните с https://math.stackexchange.com/questions/1493041/the-number-of-e-th-power-residues-bmod-m и
http://www.mpia.de/~mathar/public/mathar20171110.pdf, там есть ряд частных результатов и гипотез в этом направлении

По обоим ссылкам ничего, касающегося темы, не нашёл - кажется, там везде только элементарные результаты, касающиеся количества степенных вычетов как таковых, а не порождённых отрезком.

[a1981]

Ну так выпишите свою гипотезу в этом частном случае и попробуйте сопоставить с этими результатами.

[a1981]

Еще рекомендую параграф 1.1 книги
Б.З.Мороз Аналитические задачи в алгебраической теории чисел и диофантовой геометрии
Там есть существенно более общий результат (видимо наиболее общий возможный результат о поведении степенных вычетов на длинных интервалах), хотя понимание его требует определенной квалификации. Из него видно, что гипотеза из первого поста неверна.