Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии

[Ascold]

В этой книге как пример рассматривается лагранжиан с набором $N$ скалярных полей (11.5). Расчёт простой, а интерпертацию недопонимаю. Вот есть рис. 11.2 для $N=2,$ пусть тогда для однородного поля, доставляющего минимум потенциальной части лагранжиана, взяли(11.7) и перешли к парее полей (11.8). Под (11.9) говорится, что из рис. (11.2) получается, что массивное поле описывает колебания в радиальном направлении, а безмассовое - в касательном направлении вдоль впадины потенциала.
Как это понимать, ведь оба поля отложены по осям, вдоль них и должны колебаться, разве нет?
Ясно, что безмассовые поля отвечают $O(N-1)$ группе вращений, но ведь речь идёт именно о колебаниях, зависимостях полевой функции от координат и времени, а не об инвариантности лагранжиана при линейных преобразованиях (11.6).

[physicsworks]

Ascold в сообщении #1373658 писал(а):

Как это понимать, ведь оба поля отложены по осям, вдоль них и должны колебаться, разве нет?

Нет, нужно сначала выбрать вакуум, в его окрестности разложить поле и исследовать малые осцилляции в этой окрестности, отсюда и получается картинка описанная Пескином и Шредером. Причем положения вакуума можно выбрать произвольно и вакуумы не смешиваются, каждому соответствует свой сектор теории, свое Гильбертово пространство и т.д. Это в отличие от обычной квантовой механики, где амплитуда перехода между двумя вакуумными состояниями не нулевая (в КТП же она пропорциональна экспоненте от минус объема пространства). Кстати, все эти рассуждения с потенциалом полуклассические, ведь кватновые поправки могут модифицировать классический потенциал. Поэтому более строгий подход --- эффективный потенциал Вайнберга-Коулмана.

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1373658 писал(а):

но ведь речь идёт именно о колебаниях, зависимостях полевой функции от координат и времени, а не об инвариантности лагранжиана при линейных преобразованиях

В точности наоборот. Здесь колебания полевой функции, той самой, для которой группа $O$. А пространство тут почти и не при чем. Если взять строго нулевой импульс, то совсем ни при чем.

-- Чт фев 07, 2019 03:05:11 --

Ascold в сообщении #1373658 писал(а):

ведь оба поля отложены по осям, вдоль них и должны колебаться, разве нет?

Нет.

-- Чт фев 07, 2019 03:07:00 --

Ascold в сообщении #1373658 писал(а):

массивное поле описывает колебания в радиальном направлении, а безмассовое - в касательном направлении вдоль впадины потенциала.

Это "радиальное направление" и "касательное направление" к пространственным направлениям не имеют НИКАКОГО отношения.

[Ascold]

physicsworks в сообщении #1374537 писал(а):

Нет, нужно сначала выбрать вакуум, в его окрестности разложить поле и исследовать малые осцилляции в этой окрестности, отсюда и получается картинка описанная Пескином и Шредером.

С этим, вроде как, всё ясно: ищется состояние, минимизирующее гамильтониан, при этом для входящих в него полей возникает условие $\sum\limits_{i=1}^N(\psi^i)^2(x)=\mu^2/\lambda,$ что позволяет определить, например, соответствующий мультиплет полей как $\psi_0^i=\{0,...,\mu/\Sqrt{\lambda}\}$ (11.7)
Далее пишется $\psi^i(x)=\{\pi^i(x),...,\mu/\sqrt{\lambda}+\sigma(x)\},$
а по каким переменным раскладывать поле в окрестности вакуума?

Цитата:

Причем положения вакуума можно выбрать произвольно и вакуумы не смешиваются

Имеете ввиду, что $\psi_0^i=\{0,...,\mu/\sqrt{\lambda}\}$ - это один вакуум, а, например, $\psi_0^i=\{\mu/\sqrt{\lambda},...,0\}$ - другой?

Alex-Yu в сообщении #1374546 писал(а):

Это "радиальное направление" и "касательное направление" к пространственным направлениям не имеют НИКАКОГО отношения.

это понятно, что речь идёт о колебаниях в пространстве полевых конфигураций, но происходит-то оно потому, что "компоненты"$\psi^i(x)=\{\pi^i(x),...,\mu/\sqrt{\lambda}+\sigma(x)\}$ в данной точке зависят от времени? Я вижу картинку так - взяли поле, нашли вакуум, соответствующий постоянному значению полевой переменной, построили график $V=V(\psi).$ В невакуумном состоянии поле теперь не набор констант, поэтому фигура на картинке (11.2) "пришла в движение" - стала менять свою форму.
Если имеется в виду не это, то о каких осцилляциях идёт речь?

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1374797 писал(а):

фигура на картинке (11.2) "пришла в движение" - стала менять свою форму.

Это еще с какого перепуга??? Это же не полевая конфигурация, это зависимость энергии от двух полевых компонент.

[Ascold]

Alex-Yu в сообщении #1374834 писал(а):

Это же не полевая конфигурация, это зависимость энергии от двух полевых компонент.

Да, это я туплю. Однако всё равно не пойму, почему из рис. (11.2) получается, что массивное поле описывает колебания в радиальном направлении, в котором потенциал имеет ненулевую вторую производную, а безмассовое - в касательном направлении вдоль впадины потенциала, .
Конкретизирую - пусть есть всего два поля $\psi_1$ и $\psi_1$, потенциал равен $V=-\mu^2(\psi_1^2+\psi_2^2)+\frac{\lambda}{4}(\psi_1^2+\psi_2^2)^2.$ Тогда одно из вакуумных состояний будет $\psi_1=0,$ $\psi_2=\mu/\sqrt{\lambda},$ "смещённое" поле - $\psi_1=\psi(x),$ $\psi_2=\mu/\sqrt{\lambda}+\sigma(x).$ Как в этом случае развидеть, что поле $\sigma(x)$ описывает колебания в радиальном направлении, а поле $\psi(x)$ - вдоль впадины, почему не наоборот, и какое отношение ко всему этому имеет вторая производная потенциала в радиальном направлении? Может, я тупой, но в упор не пойму, что пытаются сказать здесь Пескин и Шредер.

[Munin]

Ascold в сообщении #1375672 писал(а):

и какое отношение ко всему этому имеет вторая производная потенциала в радиальном направлении?

1. Запишите потенциал в "смещённых" полевых компонентах.
2. Разложите его по Тейлору вокруг нуля до 2 порядка. Должно получиться квадратичное выражение от $\sigma,$ и ноль в касательном направлении.
3. Вообразите себе, что это два независимых поля. Соответственно, квадратичный потенциал становится массовым членом каждого соответствующего поля.

Я всё это читал по
Рубаков. Классические калибровочные поля.
так что если в Пескине-Шрёдере что-то мутно, то я не знаю.

[Ascold]

Munin в сообщении #1375684 писал(а):

1. Запишите потенциал в "смещённых" полевых компонентах.
2. Разложите его по Тейлору вокруг нуля до 2 порядка. Должно получиться квадратичное выражение от $\sigma,$ и ноль в касательном направлении.

Теперь ясно - во втором порядке потенциал будет $V=-\mu^4/2\lambda+2\mu^2\sigma^2,$
от $\psi$ не зависит, отсюда и интерпретация.

[physicsworks]

Ascold в сообщении #1375709 писал(а):

отсюда и интерпретация

да, только вывод можно делать на основе полного лагражиана, конечно, ведь вам нужны кинетические члены тоже.