Норма функционала

[hollo]

в $C[0,1]$ найти норму $f(x)=x(0)-\int\limits_{0.25}^{0.5}x(2t)dt+x(1)$
$ \tau =2t$

$f(x)=x(0)-\int\limits_{0.5}^{1}\frac{1}{2} x( \tau) d \tau + x(1) \leqslant \left\lVert x \right\rVert - \frac{1}{2} \left\lVert x \right\rVert \int\limits_{0.5}^{1} 1 d \tau + \left\lVert x \right\rVert = \frac{7}{4} \left\lVert x \right\rVert$, а значит и $ \left\lvert f(x) \right\rvert \leqslant \frac{7}{4}$

Правильно ли я понимаю, что нам нужна такая функция, которая равна $1$ на $[0,1]$, те $x(0)=1$,$x(1)=1$ и $\int\limits_{0.5}^{1} \frac{1}{2} x( \tau ) d \tau=\frac{1}{4}$, значит $x( \tau)=1$?

[thething]

Верхняя оценка неправильная, потому что Вы опять не расписываете как надо, с модулями.

Значение нормы тут не достигается, поэтому нужна будет последовательность.

[hollo]

thething
Кажется понял, тогда должно получиться
$f(x) \leqslant x(0)+\int\limits_{0.5}^{1}\frac{1}{2} x( \tau) d \tau + x(1)= \frac{9}{4} \left\lVert x \right\rVert$

thething в сообщении #1374403 писал(а):

Значение нормы тут не достигается, поэтому нужна будет последовательность.

$x(0)$ и $x(1)$ должны быть равны $1$, а $x( \tau) = -1, \tau \in [0+\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}]$?

[thething]

hollo в сообщении #1374453 писал(а):

Кажется понял, тогда должно получиться
$f(x) \leqslant x(0)+\int\limits_{0.5}^{1}\frac{1}{2} x( \tau) d \tau + x(1)= \frac{9}{4} \left\lVert x \right\rVert$

Вот если бы ещё модули тут писать, то было бы идеально.

hollo в сообщении #1374453 писал(а):

$x( \tau) = -1, \tau \in [0+\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}]$?

Почему такой отрезок? А если посмотреть, как получилась оценка сверху? Не старайтесь прям сразу получить последовательность. Сперва напишите "идеальную" функцию, пусть она будет пока разрывной. Потом будете превращать эту разрывную функцию в последовательность.

-- 06.02.2019, 16:52 --

Ещё, учтите, что на $(0;0,5]$ у Вас вообще может быть всё, что угодно (оно в оценке сверху не участвовало), в частности, просто непрерывное.

[hollo]

thething
Ой, поторопился.
$x(0)=1$
$x(1)=1$
и $x( \tau)=-1$ на $[0.5+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]$
А на $(0,0.5-\frac{1}{n}]$ можно взять $x( \tau)=1$. И после этого "склеить" два разрыва

[thething]

На $(0;0,5]$ можно просто соединить непрерывным образом, а разрыв склеивать только в точке 1.

[hollo]

thething
Да, точно. Спасибо!