Спектр оператора

[hollo]

Найти спектр оператора $A: C[0,1] \to C[0,1]$
$Ax(t)=tx(0) + (1-t)x(1)$
$Ax- \lambda x=y$

$tx(0) + (1-t)x(1) - \lambda x(t)=y(t) $

При $t=0$: $x(1) - \lambda x(0)=y(0) $. Выражаем отсюда $x(0)$
При $t=1$: $x(0)- - \lambda x(1)=y(1) $ Выражаем отсюда $x(1)$
Полученные $x(0)$ и $x(1)$ подставляем в $tx(0) + (1-t)x(1) - \lambda x(t)=y(t) $ и получаем
$x(t)=\frac{-y(t)}{ \lambda} + \frac{t(x(1)-y(0))}{ \lambda^2} + \frac{(1-t)(x(0)-y(1))}{\lambda^2}$

СЗ $ \lambda=0$. Как определить, принадлежит оно спектру? Если подставить в исходное уравнение, то получим $tx(0)-(1-t)x(1)=y(t)$ Но пока не понимаю, что это дает

[thething]

Собственные значения всегда принадлежат спектру, так что начните с их поиска.

И резольвенту Вы неправильно нашли (потеряли пару собственных значений), потому что $x(0)$ и $x(1)$ надо находить, решая систему, чтобы зависимость получилась только от $y$.

[hollo]

thething
Тогда должно быть
$x(1)=y(0)- \lambda x(0)$
$x(0)= \lambda x(1) + y(1)$
Подставляем первое во второе, а второе в первое:
$x(1)(1+ \lambda^2)=y(0)- \lambda y(1)$
$x(0)(1+ \lambda^2)= \lambda y(0) + y(1)$

$x(1)=\frac{y(0) - \lambda y(1)}{1+ \lambda^2}$
$x(0)=\frac{ \lambda y(0) + y(1)}{1+ \lambda^2}$
Получается, что потерял $ \lambda = \pm i$

[thething]

Потеряли, но только $\pm1$.

А начинать всё-таки такие задачи стОит с поиска собственных значений, по определению.

[hollo]

thething в сообщении #1372024 писал(а):

А начинать всё-таки такие задачи стОит с поиска собственных значений, по определению.

Это все корни уравнения $\left\lvert A - \lambda E \right\rvert = 0$

$A = \begin{pmatrix} t& 0&\\ 0& 1-t&\end{pmatrix}$

$\det \left\lvert A - \lambda E \right\rvert = t(1-t)- \lambda (1- \lambda)$
Для $t=0,1$ -- $ \lambda=0,1$

[thething]

hollo
Наводящий вопрос: Вы знаете что-нибудь про операторы конечного ранга?

-- 27.01.2019, 15:11 --

А вообще, по определению Вам надо найти такие $\lambda$, при которых существует ненулевое решение уравнения $Ax=\lambda x$. Запишите это уравнение и попробуйте его порешать. Начните со случая $\lambda=0$.

[hollo]

thething в сообщении #1372218 писал(а):

Наводящий вопрос: Вы знаете что-нибудь про операторы конечного ранга?

Если честно, то нет. Да и вообще делали только один похожий номер, притом через резольвенту. $1$ и $-1$ я получил, а вот откуда ноль получить, не знаю.

thething в сообщении #1372218 писал(а):

А вообще, по определению Вам надо найти такие $\lambda$, при которых существует ненулевое решение уравнения $Ax=\lambda x$. Запишите это уравнение и попробуйте его порешать. Начните со случая $\lambda=0$.

Для $ \lambda =0$:
$tx(0)+(1-t)x(1)=0$
При $t=0$ получим $x(1)=0$
При $t=1$ получим $x(0)=0$

Для других $ \lambda$ получается:
При $t=0$ получим $x(1)= \lambda x(0)$
При $t=1$ получим $x(0)= \lambda x(1)$

[thething]

hollo в сообщении #1372238 писал(а):

Для $ \lambda =0$:
$tx(0)+(1-t)x(1)=0$

Вот это уравнение надо переписать в виде $c_1t+c_2=0$. Учесть, что на самом деле это тождество, т.е. верно при любых значениях $t$. Отсюда догадаться, каким могут быть $c_1,c_2$. Ещё может помочь факт, что система функций $\left\lbrace1, t\right\rbrace$ линейно независима на отрезке $[0,1]$.

Через резольвенту тоже всё получится и ноль и $\pm1$, надо просто аккуратно её искать.

-- 27.01.2019, 17:07 --

hollo в сообщении #1372238 писал(а):

При $t=0$ получим $x(1)=0$
При $t=1$ получим $x(0)=0$

Вот Вы примерно то и сделали, о чём я говорил выше. Осталось привести пример такой ненулевой непрерывной функции $x(t)$, удовлетворяющей этим условиям. Приведёте -- значит вот оно собственное значение $\lambda=0$.

-- 27.01.2019, 17:11 --

После этого можно считать, что $\lambda\ne0$ и из уравнения $Ax=\lambda x$ угадать общий вид решения $x(t)$ (подсказка: в этом общем виде фигурируют две произвольные константы -- см. примерно то, что я писал выше).

[hollo]

thething
Спасибо!! Вроде получилось. Но все-таки не дает покоя метод через резольвенту.
Полученную систему из двух уравнений нужно решать с помощью метода Крамера?
$x(1) - \lambda x(0)=y(0) $
$x(0) - \lambda x(1)=y(1) $

$ \Delta = \det \begin{bmatrix} - \lambda& 1& \\ 1& - \lambda& \end{bmatrix}= \lambda^2 +1$

$ \Delta_1 = \det \begin{bmatrix} y(0)& 1& \\ y(1)& - \lambda& \end{bmatrix}= -\lambda y(0) - y(1) $

Тогда $y(0)=\frac{ -\lambda y(0) - y(1)}{ \lambda^2-1}$

[thething]

Да хоть как решайте, главное -- правильно. В частности, правильно считайте определители и будет счастье. У Вас непонятно, то ли опечатка, то ли ошибка. Присмотритесь повнимательнее.

А потом найдите $x(t)$ -- вот точки спектра и повылезают. Правда, в идеале бы ещё доказать, что это именно резольвента, т.е. ограниченный оператор, определённый на всём пространстве, но это уж как с Вас требуют..

[hollo]

thething
Нашел опечатку. В итоге все нужные точки получил. Спасибо еще раз!!

[thething]

Не за что! Только учтите, что метод "через резольвенту" не позволяет сказать, что Вы нашли именно собственные значения. Там помимо выписывания резольвенты исследование проводить надо (как раз по определению с.з. и других типов спектра). Хотя тут проще использовать такой факт: оператор вполне непрерывен (это обосновывается легко), поэтому его спектр состоит только из собственных значений и нуля. Нуль тоже может быть собственным значением, но может и не быть, так что хотя бы нуль по определению с.з. исследовать нужно.

[ewert]

hollo в сообщении #1372238 писал(а):

а вот откуда ноль получить, не знаю.

Его не надо получать. И даже нет смысла проверять его на собственность. Достаточно того, что оператор компактен.