Пользователь
Someone в сообщении
1255910 писал:
Цитата:
«У нас на форуме
можно найти пример полной чуши в исполнении доктора физико-математических наук (..). У него есть последователи, которые создают свою
комиссию по борьбе с лженаукой (подразумевается теория множеств)».
Эти слова пользователя
Someone не соответствуют действительности. Даже в аспекте критики канторизма (не говоря уже об остальном) Валдис Валевич Эгле (р.1946), Веданскую теорию (ВТ) которого призвана взвесить указанная комиссия,
НЕ является последователем Александра Александровича Зенкина (1937–2006).
Во-первых, наиболее раннее выступление А.А. Зенкина против канторизма, доступное теперь в Интернете, – это статья в «Вопросах философии» № 2 за 2000 год (см. альманах МОИ
№ 108, стр.2). А наиболее раннее выступление В.В. Эгле против канторизма, доступное теперь в Интернете, относится к 1981 году (см. книгу
TRANS1, стр.52). Таким образом, первое публичное выступление Эгле против канторизма состоялось на 19 лет раньше, чем у Зенкина.
Во-вторых, и главное, с точки зрения взглядов Эгле Зенкин вообще выступает против канторизма с совершенно неправильных позиций (см. критику Зенкина в МОИ
№ 115, стр.30). У Зенкина правильно лишь само отрицание канторизма, а то обоснование, которое он дает этому отрицанию, неверно.
Зенкин отрицает канторизм на основании тезиса, возведенного им в девиз: «Infinitum Actu Non Datur», т.е. по Зенкину канторизм неверен потому, что не существует актуальной бесконечности.
Эгле же отвергает этот тезис Зенкина: разумеется, актуальная бесконечность (математическая) не существует как физическая реальность, но она – полезная абстракция, без каких абстракций математика вообще не может существовать. Корень ошибочности канторизма заключается не в том, что в канторизме признается актуальная бесконечность, а в том, что в канторизме
не различаются две вещи, которые различаются в ВТ.
А именно: необходимо отделить актуальную бесконечность от «постулата Кантора».
Сам по себе ввод актуальной бесконечности означает только то, что мы начинаем считать оконченным бесконечный процесс и созданным его «окончательный» продукт. Если процесс создавал, например, натуральные числа, то из ввода актуальной бесконечности (когда мы начинаем считать, что все натуральные числа уже созданы и существуют одновременно) – из этого вовсе не следует, что четных чисел будет столько же, сколько всех натуральных чисел.
Утверждение (предположение), что четных чисел столько же, сколько натуральных, есть отдельный постулат (назовем его «постулатом Кантора»), который можно принять, но можно и НЕ принять. Первой ошибкой канторизма является то, что его последователи (кантористы) не различают эти две вещи, а связывают их неразрывно воедино, полагая: «Раз актуальная бесконечность, значит и принят постулат Кантора». (Исторически так сложилось потому, что Больцано и Кантор смотрели на «бесконечное» как на нечто божественное, а не как на абстракцию о завершенном бесконечном процессе; см., например, книгу
DEKIND, стр.37, §5). Но это положение ошибочно: на самом деле можно принять актуальную бесконечность (считать, что все натуральные числа существуют одновременно) и в то же время принимать постулат, противоположный Постулату Кантора (считать, что четных чисел лишь половина из натуральных). (Назовем эту альтернативу «Постулатом Антикантора»).
В общем виде Постулат Кантора означает, что принимаются «равномощными» все результаты бесконечных процессов («счетные множества»); Постулат Антикантора означает, что «счетные множества» равномощными вовсе не признаются, а их «мощности» различаются в зависимости от условий генерации этих множеств (от условий протекания тех бесконечных процессов, считая которые законченными, мы вводили актуальную бесконечность).
Когда мы имеем такую систему понятий (отделяющую актуальную бесконечность от постулатов Кантора или Антикантора), то канторизм мы можем охарактеризовать следующими основными признаками. Это учение, в котором:
а) не различают, не отделяют актуальную бесконечность от постулатов о равномощности;
б) в силу этого, молча и не осознавая этого, протаскивают Постулат Кантора, не понимая возможности существования противоположного постулата;
в) в силу молча принятого Постулата Кантора считают все «счетные множества» равномощными;
г) однако, так как по параметрам генерации (по характеристикам процессов) множества на самом деле НЕ равномощны, то натыкаются на противоречия и приходят к выводу о существовании «несчетных множеств».
Эту систему взглядов (канторизма) в истории ВТ принято обозначать: «Система К». Ей противопоставляется «Система М», в которой:
а) принимается актуальная бесконечность, но не привязанная к Постулату Кантора;
б) принимается Постулат Антикантора, т.е. уже бесконечные «счетные множества» различаются по мощности в зависимости от того, как они были связаны в процессе их создания (например, если на каждый элемент множества
создаются три элемента множества
, то и в актуальной бесконечности мощность
будет в три раза больше, чем мощность
);
в) при этом все доказательства «теоремы Кантора» оказываются несостоятельными, «несчетных множеств» не существует (а мощностями различаются уже «счетные множества»).
Понимание всего этого отсутствует у Зенкина. Фактически он идет на поводу у кантористов, вместе с ними не отделяя актуальную бесконечность от постулата Кантора. Ему нужно было отвергнуть один только Постулат Кантора, а он вместе с этим постулатом отверг и саму актуальную бесконечность; не увидев постулат Кантора, Зенкин утратил и возможность противопоставить ему Постулат Антикантора, получить две системы и выбирать между ними.
Все разновидности «теоремы Кантора» (провозглашающей существование «несчетных множеств») несостоятельны, как только действует Постулат Антикантора (т.е. когда «счетные» множества неравномощны; один из многочисленных примеров – в
DEKIND, стр.34). Таким образом, «теорема Кантора» является постулатно-зависимой: о ней можно говорить только в том случае, если принят Постулат Кантора; эта теорема не излагает какую-то объективную истину, как это полагают кантористы, а является результатом некоторого специфического построения (предпосылки которого его авторами осознаются в весьма слабой степени).
Поэтому в конечном итоге всё дело сводится к сравнению «Системы К» и «Системы М»: которой из них мы должны отдать предпочтение?
С первого взгляда очевидно, что Система М более естественна и логична. В Системе К сначала все множества объявляются «равномощными», а потом оказывается, что это невозможно, и появляются «несчетные» множества. Так зачем нужно было бесконечные множества сначала объявлять все одинаковыми, если потом они всё равно оказываются неодинаковыми? Гораздо логичнее с самого начала считать их неодинаковыми в соответствии с условиями их создания (четных чисел лишь половина и т.д.). Система К также более туманна: не различает вещи, которые тонкий и точный мыслитель должен различать.
Система К проигрывает Системе М уже по названным выше соображениям. Но окончательный приговор ей выносит осознание вообще природы математики и ее объектов. Математика порождается мозгом как биологическим компьютером, а ее объекты представляют собой потенциальные продукты мозговых программ (см., напр., МОИ
№ 6, стр.2 и далее; или
MateMrak). Когда эти вещи осознаны, то уже очевидно, что Система М представляет собой просто естественное (даже естественнонаучное) отображение продуктов системы программ, в то время как Система К на этом фоне выглядит как причудливое сооружение, истоки которого восходят к архаичным представлениям о божественной природе бесконечного у Больцано и Кантора.
Пользователь
Someone в сообщении
1280678 писал:
Цитата:
«Что касается оппозиции "канторизму", то много кто был в этой оппозиции. Это пошло на пользу математике, поскольку, во-первых, теория множеств была сформулирована более аккуратно, чтобы избежать парадоксов (это было бы сделано и без оппозиции), а во-вторых, возникло новое интересное направление в математике – конструктивное (..). Самое интересное то, что математики давно уже обо всём договорились, а всякие околоматематические хвилозофы продолжают яростно обличать».
В мудрости последнего предложения можно убедиться, если применить его, например, к астрологии: «
Самое интересное то, что астрологи давно уже обо всём договорились, а всякие околоастрологические хвилозофы продолжают яростно обличать».
Людям, знакомым с ВТ, конструктивное направление в математике не представляется особо ценным. Подобно Зенкину, конструктивисты зря отвергли актуальную бесконечность, а додуматься до разбора
фактических мозговых программ, порождающих математику и задействованных в ней, как это делает ВТ, они всё-таки не смогли, хотя вроде и двигались в этом направлении (см., напр.,
Konstruktivisty и
2017-10-16, раздел 3).
Парадоксы представляются важными только с точки зрения самого канторизма; с точки зрения же ВТ это элементарное программистское явление – зацикливание программы (см., напр., МОИ
№ 5, стр.72 и МОИ
№ 115, стр.39), которое ничем не угрожает теории и от которого незачем избавляться такими методами, как это было сделано после Парадокса Рассела.
В приведенной выше цитате видно презрительное отношение пользователя
Someone к тем, которых он обозначает словами «
всякие околоматематические хвилозофы» (нарушая при этом правило
I.1.e Форума
topic3476, запрещающее хамство и оскорбления). И это чрезвычайно характерно для математиков. Изложенная выше схема критики канторизма не является ни «хвилозофской», ни философской, а просто логической. (Пользователю
Someone и другим кантористам, видимо, хотелось бы, чтобы мы мыслили столь же туманно и путанно, как они, но вот, к сожалению для них, – мы мыслим четко и логично).
Замена Постулата Кантора на Постулат Антикантора совершенно аналогична замене Пятого постулата Евклида на Постулат Лобачевского или замене Постулата Птолемея (Земля в центре Вселенной) на постулат Коперника (Солнце в центре Вселенной). Пара «Система К и Система М» совершенно аналогична паре «геометрия Евклида и геометрия Лобачевского» или паре «Система Птолемея и Система Коперника». Во всех этих случаях нужно брать две разные системы, порожденные альтернативными постулатами, и сравнивать эти системы.
К сожалению, до сих пор за четыре десятилетия не нашлось ни одного математика, который был бы способен это сделать. Они были способны только на ругань («хвилозофы» и еще хлеще); они отрицали существование Системы М, право ее на существование, отрицали существование Постулата Кантора и т.п.
(Хочется спросить этих умников: «Откуда же вы знаете, что четных чисел столько же, сколько натуральных? Вы это увидели в телескопе? Или вы это рассмотрели в микроскопе? Или вы это установили в эксперименте на циклотроне?». Да любому школьнику – по крайней мере школьнику моего времени – ясно, что не существует этих чисел нигде в природе, что они – продукт нашего ума, и четных среди них будет столько, сколько сам наш ум и установит. Это постулат чистейшей воды, и постулат «Четных половина» вообще-то естественнее и разумнее, чем постулат «Четных столько же, сколько натуральных»).
Все эти вещи чрезвычайно просты. Если подходить к ним с научной точки зрения, используя научные принципы (рассматривая постулаты и сравнивая порожденные этими постулатами системы), то всё прозрачно ясно. Так почему же в течение 40 лет десятки и сотни математиков это столь яростно отрицали? Да потому, что они отвергали научный подход и становились в позиции религиозной веры.
«
Если Христос не воскрес, то и проповедь наша тщетна, тщетна и вера ваша», говорит основатель христианства Павел из Тарса в Первом послании к Коринфянам
(15:14). Доказательством верности постулата, что Христос воскрес, является то, что в противном случае тщетна и проповедь, и вера. Такова глубинная «логика» верующего.
И точно такова же глубинная логика кантористов. Я не верю, что все те профессора и академики, которые на протяжении четырех десятилетий притворялись, будто не понимают, как это можно считать, что четных чисел лишь половина из натуральных, – не верю, что они действительно не способны были это понять. Но они следовали «логике» Павла и веры: если допустить существование Постулата Кантора и возможность его замены альтернативным постулатом, то тщетна наша проповедь, производимая от университетских лекций до энциклопедий, и рушится тогда вера наша! (Значит, постулата нет, и заменить его нельзя!)
Но этим они превращают канторизм в обычную религиозную секту, догматы которой защищаются уже не научными методами, а методами религиозного фанатизма. (Что мы и наблюдаем). За 40 лет от математиков не поступило
ни одного ответа по существу. Были только бесконечные повторения догм кантористской секты, рассуждения, проводимые при действующем Постулате Кантора (и никогда не при Постулате Антикантора), ну и, конечно, была ругань, ругань, ругань – этот главный аргумент кантористов.
Посмотрим, найдутся ли на форуме
DxDy математики, способные разбирать эти вещи без обычной ругани, способные говорить по существу нашей аргументации, а не тупо отрицать самые очевидные вещи?
А вообще науке математике следует отказаться от Системы К, потому что та не научна, и перейти к Системе М, потому что она научна. Истоки Системы К лежат в представлениях о бесконечности Бога, а истоки Системы М лежат в представлениях о мозге как о системе обработки информации.
