Пусть пространство конечномерное размерности

. Пусть есть некоторый гамильтониан

и унитарный оператор

, коммутирующий с

и обладающий свойством

. Из-за последнего всё семейство операторов

коммутативно. Ещё определено, что

для некоторого

.
Коль скоро
![$[\mathcal H, T_n] = 0 \ \forall n$ $[\mathcal H, T_n] = 0 \ \forall n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/9/b6904d49a73779ab586ada7b1937ff7182.png)
, то тогда выберем ортонормированный базис из общих для

и семейства

собственных функций:

Теперь используем свойство

и напишем

, откуда (и из унитарности) следует, что

, где

.
Применяя дополнительные определения, получаем (при

) условие

, где

--- какое-то целое число, зависящее от

. Выбросим это слагаемое, так как оно ничего не даёт. Остаётся

. Применяем теперь определение при

, получая

, где

--- какое-то целое число. Легко видеть, что эффективно число

пробегает множество

, так как приведение его к этому множеству даёт в экспоненту слагаемое, кратное

, которое можно безболезненно удалить.
Как итог,

Как я вижу, больше ограничений здесь нет. Тогда числа

для каждой функции

можно задать произвольно из указанного множества.
Вопроса у меня два.
Первый: что значит "произвольно"? Например, если я два раза буду решать задачу на собственные значения для

вида

, используя сначала один набор

, а затем другой, не тождественный ему

, то я, по идее, должен получать разные наборы собственных векторов, сиречь разные базисы. С другой стороны говорится, что для каждого набора

найдётся общий базис

у

и

такой, что

. У меня не получается уместить в одной голове две этих мысли. Тут либо что-то неправильно (и тогда прошу указать, что именно), либо всё правильно, но я не знаю, как нужно думать, чтобы эти две мысли сочетать.
Второй: Поскольку говорится, что для каждого набора

найдётся общий базис

у

и

такой, что

, то тогда, по идее, смена набора влечёт смену общего базиса. С другой стороны, собственные значения

от базиса не зависят. В таком случае, если собственному значению

соответствует одномерное собственное подпространство, то функция нового базиса, отвечающая этому же значению

, должна быть не более, чем на постоянный множитель отлична от той функции, что была в старом базисе. Нормировка функций приводит к тому, что они вообще совпадут. Так, нетривиальным образом могут меняться только функции, отвечающие вырожденным уровням

. Но если у гамильтониана все уровни невырожденные, тогда смена базиса возможно только на тот же самый. Получится тогда, что разным наборам

будет соответствовать один и тот же базис.
Пусть, например,

и у гамильтониана вырождение отсутствует. Первый набор:

. Пусть ему соответствует общий базис

. Второй набор:

. Ему должен соответствовать базис

, состоящий из тех же функций. Таким образом, в порядке следования мы должны иметь тогда

(то есть просто переставили функции). При этом получается, что уровни

зависят на самом деле от того, какой

был взят: в первом наборе, например, был взят

, и тогда должно быть

, но

. Именно это имеют в виду, когда в зонной теории обозначают зависимость

?
Другой пример. Первый набор:

. Пусть ему соответствует общий базис

. Функции

и

в этом случае принадлежат

, мы берем их ортогональными. Второй набор:

. Ему должен соответствовать базис, состоящий из тех же функций, но в первом наборе не было функции, соответствующей числу

. Что в этом случае происходит? Я не имею права брать наборы

с совпадающими членами, если спектр

невырожден? Видно ли формальным образом это ограничение?