Теорема Бонне

[pogulyat_vyshel]

Задача 1. Доказать, что среди траекторий точки , движущейся в поле двух одинаковых фиксированных гравитирующих центров, имеется эллипс с фокусами в этих центрах.

Для этого воспользоваться результатами задачи Кеплера и доказать следующую теорему.

Задача 2.
Пусть $M$ -- гладкое $m-$мерное многообразие с локальными координатами $x=(x^1,\ldots, x^m)$ и римановой метрикой $g_{ij}(x)$.

Рассмотрим $l$ задач Коши

$$ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial T}{\partial x^i}=Q_i^{(k)}(x),\quad x^i_{(k)}(0)=X^i,\quad \dot x^i_{(k)}(0)=V^i_{(k)},\quad k=1,\ldots,l;\qquad (1)$$

здесь $T=\frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j.$

Предположим, что решения $x^i_{(k)}(t)$ задач (1) имеют общую траекторию $\gamma$ ($\gamma\subset M$ -- гладкая кривая), и что все векторы $V_{(k)}=(V^1_{(k)},\ldots,V^m_{(k)})\in T_XM,\quad X=(X^1,\ldots, X^m)$ сонаправлены.

Пусть $\lambda_{(1)},\ldots,\lambda_{(l)}$ -- произвольные неотрицательные числа, среди которых найдется хотя бы одно ненулевое.

Введем вектор $V\in T_XM,$ сонаправленный с векторами $V_{(k)}$ и такой, что

$$|V|^2=\sum_{k=1}^l\lambda_{(k)}|V_{(k)}|^2.$$

Теорема (Бонне)

Траекторией решения $x^i(t)$ задачи

$$ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial T}{\partial x^i}=\sum_{k=1}^l\lambda_{(k)}Q_i^{(k)}(x),\quad x^i(0)=X^i,\quad \dot x^i(0)=V^i$$

является кривая $\gamma$.