Задача 1. Доказать, что среди траекторий точки , движущейся в поле двух одинаковых фиксированных гравитирующих центров, имеется эллипс с фокусами в этих центрах.
Для этого воспользоваться результатами задачи Кеплера и доказать следующую теорему.
Задача 2.Пусть
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
-- гладкое
![$m-$ $m-$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/1/fc1723da96cacf45245ab87a1ef79a3f82.png)
мерное многообразие с локальными координатами
![$x=(x^1,\ldots, x^m)$ $x=(x^1,\ldots, x^m)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/6/7762561e39e79042c4e7dad40d2ee46a82.png)
и римановой метрикой
![$g_{ij}(x)$ $g_{ij}(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/d/8ad115a9153b25540ba9e814e1eea27982.png)
.
Рассмотрим
![$l$ $l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f2322dff5bde89c37bcae4116fe20a882.png)
задач Коши
![$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial T}{\partial x^i}=Q_i^{(k)}(x),\quad x^i_{(k)}(0)=X^i,\quad \dot x^i_{(k)}(0)=V^i_{(k)},\quad k=1,\ldots,l;\qquad (1)$$ $$
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial T}{\partial x^i}=Q_i^{(k)}(x),\quad x^i_{(k)}(0)=X^i,\quad \dot x^i_{(k)}(0)=V^i_{(k)},\quad k=1,\ldots,l;\qquad (1)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/e/9fed71216bcdbdf08d76f1ed2ab2c17982.png)
здесь
![$T=\frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j.$ $T=\frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/4/e348c6ec4537e4906f82f2874e05426182.png)
Предположим, что решения
![$x^i_{(k)}(t)$ $x^i_{(k)}(t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/9/2399cdc121abfe0ee79b7da880aaff7c82.png)
задач (1) имеют общую траекторию
![$\gamma$ $\gamma$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/c/11c596de17c342edeed29f489aa4b27482.png)
(
![$\gamma\subset M$ $\gamma\subset M$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e13ab5aac7634a0dffde9d71f0a15f682.png)
-- гладкая кривая), и что все векторы
![$V_{(k)}=(V^1_{(k)},\ldots,V^m_{(k)})\in T_XM,\quad X=(X^1,\ldots, X^m)$ $V_{(k)}=(V^1_{(k)},\ldots,V^m_{(k)})\in T_XM,\quad X=(X^1,\ldots, X^m)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/7/d67e2124352d99a51f7d7e3ba001809c82.png)
сонаправлены.
Пусть
![$\lambda_{(1)},\ldots,\lambda_{(l)}$ $\lambda_{(1)},\ldots,\lambda_{(l)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/7/9d7b81c363c92c2088eb5b5674e065c882.png)
-- произвольные неотрицательные числа, среди которых найдется хотя бы одно ненулевое.
Введем вектор
![$V\in T_XM,$ $V\in T_XM,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/4/b34e5fe0f3c2542cf8b0556213a8d03c82.png)
сонаправленный с векторами
![$V_{(k)}$ $V_{(k)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/8/588b32938a5e7a16c6ca98512e5b620d82.png)
и такой, что
Теорема (Бонне)
Траекторией решения
![$x^i(t)$ $x^i(t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/5/07589bf0b5e98532fe4fd5d1c9ea6e9582.png)
задачи
![$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial T}{\partial x^i}=\sum_{k=1}^l\lambda_{(k)}Q_i^{(k)}(x),\quad x^i(0)=X^i,\quad \dot x^i(0)=V^i$$ $$
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial T}{\partial x^i}=\sum_{k=1}^l\lambda_{(k)}Q_i^{(k)}(x),\quad x^i(0)=X^i,\quad \dot x^i(0)=V^i$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9ae6714723e7f336000a8fb43db239f82.png)
является кривая
![$\gamma$ $\gamma$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/c/11c596de17c342edeed29f489aa4b27482.png)
.