Решить детскую задачу, не прибегая к составлению уравнений?

[Ktina]

Как решить детскую задачу, не прибегая к составлению уравнений?

Некоторую работу могут выполнить трое рабочих. Второй и третий могут вместе выполнить её в два раза быстрее первого; первый и третий могут вместе выполнить её в три раза быстрее второго. Во сколько раз первый и второй могут выполнить эту работу быстрее, чем третий?

Ясно, что если решать через систему уравнений, задача становится стандартной. Но ведь составители олимпиады вряд ли подразумевали такое стандартное решение. Может, есть какой-нибудь трюк?

[warlock66613]

Ktina в сообщении #1372319 писал(а):

Как решить детскую задачу, не прибегая к составлению уравнений?

Есть общий метод. Решаете задачу в общем виде с помощью уравнений, получаете формулу для конечного ответа. Затем разбиваете формулу на отдельные "действия", получаете решение без уравнений. Наконец, последний этап - придумать обоснование для каждого "действия", то есть описание вычисляемой на очередном шаге величины.

[Ktina]

warlock66613 в сообщении #1372322 писал(а):

Есть общий метод. Решаете задачу в общем виде с помощью уравнений, ...

Многие шестиклассники (а именно для этого класса и предлагалась задача) даже если и умеют составлять и решать системы уравнений, делают это крайне неохотно и несмело. Мне трудно поверить, что все они составляли СЛАУ для решения данной задачи.

[warlock66613]

Ktina, я не предлагаю решать данную задачу с помощью уравнений. Я предлагаю с помощью уравнений найти способ решить данную задачу без уравнений, то есть доступный вашим шестиклассникам.

[Лукомор]

Ktina в сообщении #1372319 писал(а):

Некоторую работу могут выполнить трое рабочих.

Могут!
Причем втроем они выполнят эту работу быстрее, чем любая пара, составленная из этих трех.
А во сколько раз быстрее, не сложно прикинуть в уме без всяких уравнений...

[warlock66613]

В данном случае достаточно получить конечную формулу и внимательно на неё посмотреть: после этого необходимый трюк и соответствующее элементарное решение становятся очевидными.

-- 28.01.2019, 04:45 --

(Решение метазадачи по поиску элементарного решения задачи)

Формула получается такая:

$$(2+a+b) / (ab - 1),$$

где $a=2$, $b=3$. Придадим формуле более симметричную форму:

$$((a+1)+(b+1)) / (ab - 1).$$

Теперь зададимся вопросом - какой смысл имеют слагаемые в числителе? $a$ - это во сколько второй и третий быстрее первого: $a = \frac {v_2 + v_3} {v_1}$. Но тогда $a + 1 = \frac {v_1 + v_2 + v_3} {v_1}$, то есть во сколько раз все вместе быстрее первого. Аналогично с $b$ - получаем, что $b+1$ - это во сколько раз все вместе быстрее второго.

Теперь, держа в голове важность указанных выше отношений, читаем условие и немедленно получаем следующее начало решения.

Второй и третий в два раза быстрее первого. Значит все втроём в три раза быстрее первого.
Первый и третий в три раза быстрее второго. Значит все втроём в четыре раза быстрее второго.

Осталось догадаться, что с этим делать дальше, но это легко.

Считая суммарную скорость за единицу, получим, что скорость первого $1/3$, а скорость второго $1/4$. Тогда, очевидно, скорость третьего есть $1 - 1/3 - 1/4 = 5/12$, а сумарная скорость первого и второго $1/3 + 1/4 = 7/12$. А значит первый и второй быстрее третьего в $7/5$ раз.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #1372319 писал(а):

Может, есть какой-нибудь трюк?

Трюк:

Пусть работали вместе и сделали всю работу.
При этом первый сделал треть работы, второй сделал четверть работы, поэтому третий сделал ... работы.
Осталось совсем немного работы.

[wrest]

Я в школе решал устные задачи в основном методом подбора.
Пусть у Первого рубль. Тогда у Второго и Третьего в сумме два рубля, а всего, на всех - три.
Из второго условия понимаем, что у Второго денег меньше чем у Первого то есть меньше рубля.
Пусть у Второго 80 копеек, тогда у Третьего рупь двадцать, а в сумме у Первого и Третьего два двадцать. Два двадцать больше чем 80 меньше чем в три раза ($8\cdot 3=24>22$). Ок, пусть тогда у второго 70 копеек, тогда у Первого и Третьего в сумме два тридцать. Два тридцать больше 70 больше чем в три раза ($7 \cdot 3=21<23$) -- перелёт. Пусть у Второго 75 копеек, тогда у Первого и Третьего в сумме 2,25. Теперь представляем себе что 25 копеек это четверть рубля, так что у Первого и Третьего в сумме 2,25 это 9 четвертей, а у второго 0,75 - три четверти. Бинго! Девять больше трех в три раза. Теперь мы знаем сколько у кого: 1;0,75;1,25 Так что ответ на задачу будет 1,75:1,25 Переходим опять к четвертям: 1,75 это семь четвертей, а 1,25 это пять четвертей. Итого получаем в ответе 7:5=14:10=1,4

-- 28.01.2019, 09:24 --

TOTAL в сообщении #1372336 писал(а):

При этом первый сделал треть работы, второй сделал четверть работы,

Прекрасный метод.

[TOTAL]

wrest в сообщении #1372349 писал(а):

Я в школе решал устные задачи в основном методом подбора.

Пусть у Первого рубль. Тогда ...

Пусть у Первого 4 рубля, у Второго 3 рубля, у Третьего 5 рублей.
Вот так методом подбора школьник может решить любую задачу

[wrest]

TOTAL в сообщении #1372353 писал(а):

Вот так методом подбора школьник может решить любую задачу

У метода подбора есть недостаток: надо доказывать единственность.

Ваш метод в этой задаче лучше, то что у одного треть всех денег, у другого четверть а у третьего сколько осталось от единицы без первых -- правильный подход, вполне устный и универсальный для этой задачи.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #1372336 писал(а):

Трюк:

Пусть работали вместе и сделали всю работу.
При этом первый сделал треть работы, второй сделал четверть работы, поэтому третий сделал ... работы.
Осталось совсем немного работы.

Да, я именно про это!
И тогда никакого уравнения не нужно.