Аксиоматика теории множеств

[khasanov.sm]

Добрый день!

Возникли проблемы с пониманием некоторых положений из аксиом теории множеств в изложении Зорича В.А. Помогите пожалуйста понять суть аксиомы бесконечности, определяющей существование индуктивных множеств, и вводимого для ее определения понятия последователя.

Для формулировки аксиомы бесконечности, вводится понятие последователя $X^+$ множества $X$:

$$X^+= X \cup \left\lbrace X\right\rbrace$$

Здесь мне интуитивно совершенно непонятно, что подразумевается под понятием последователя, если множество $X$ дополняется самим собой $\left\lbrace X\right\rbrace$. Из чего состоит это одноэлементное множество?

Далее множество именуется индуктивным, если оно содержит в качестве элемента пустое множество и последователь любого (имеется ли в виду каждого?) своего элемента. Но ведь мы знаем, что всякое множество $X$ в качестве несобственного подмножества имеет пустое множество, но говорит ли это о том, что пустое множество $\varnothing$ является элементом $X$ ?

Буду благодарен любым наводящим идеям.

[Otta]

khasanov.sm
Напишите сами какое-нибудь множество $X$. Из двух чисел, например. Посмотрите и отработайте на нем все эти определения. Что будет последователем. Будет ли оно индуктивным. Будет ли индуктивным последователь. Если нет, напишите другое множество, пофантазируйте, что там должно быть, чтобы все выполнялось.

khasanov.sm в сообщении #1372250 писал(а):

Но ведь мы знаем, что всякое множество $X$ в качестве несобственного подмножества имеет пустое множество, но говорит ли это о том, что пустое множество $\varnothing$ является элементом $X$ ?

Нет, конечно. Например, пустое множество является своим подмножеством. Но очевидно, не содержит себя в качестве элемента, иначе не было бы пустым. Элемент и подмножество это разные понятия.

Каждого = любого.

[khasanov.sm]

Otta в сообщении #1372257 писал(а):

Нет, конечно. Например, пустое множество является своим подмножеством. Но очевидно, не содержит себя в качестве элемента, иначе не было бы пустым. Элемент и подмножество это разные понятия.

Что ж из этого следует, что множество из двух чисел $X =\left\lbrace121,144\right\rbrace$ не может быть индуктивным, ибо оно не содержит пустого множества.

Теперь рассмотрю множество $Z$ являющееся объединением множеств $X = \left\lbrace121,144\right\rbrace$ и $P(X) := \left\lbrace p \in P | p \subseteq X\right\rbrace$ =$\left\lbrace\varnothing, \left\lbrace121\right\rbrace,\left\lbrace144\right\rbrace,\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$. Тогда $Z$ по определению равно:

$$ Z = X \cup P(X) = \left\lbrace121,144,\varnothing, \left\lbrace121\right\rbrace,\left\lbrace144\right\rbrace,\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$$

Полученное множество $Z$ на первый взгляд является индуктивным, но ведь для элемента $\left\lbrace121,144\right\rbrace$ нет последователя вида $\left\lbrace\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$. Получается и оно не индуктивно?

[Otta]

khasanov.sm в сообщении #1372271 писал(а):

Что ж из этого следует, что множество из двух чисел $X =\left\lbrace121,144\right\rbrace$ не может быть индуктивным,

Да. Хотя бы поэтому. А последователь у него какой?

[khasanov.sm]

Otta в сообщении #1372273 писал(а):

Да. Хотя бы поэтому. А последователь у него какой?

$X^+ = \left\lbrace121,144,\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$?

[Otta]

khasanov.sm в сообщении #1372274 писал(а):

$X^+ = \left\lbrace121,144,\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$?

Да, верно.

khasanov.sm в сообщении #1372271 писал(а):

нет последователя вида $\left\lbrace\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$. Получается и оно не индуктивно?

Получается. Но разве там только этого последователя нет?

[khasanov.sm]

Otta в сообщении #1372275 писал(а):

khasanov.sm в сообщении #1372274 писал(а):

$X^+ = \left\lbrace121,144,\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$?

Да, верно.

khasanov.sm в сообщении #1372271 писал(а):

нет последователя вида $\left\lbrace\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$. Получается и оно не индуктивно?

Получается. Но разве там только этого последователя нет?

Нет, получается для всякого подмножества исходного множества нет последователя. Получается такой подход объединения множеств не принесёт плодов.

Что конкретно мне здесь непонятно, что если рассмотреть элементы множества и его последователя, они одни и те же - все те же 121 и 144

[Otta]

khasanov.sm в сообщении #1372274 писал(а):

$X^+ = \left\lbrace121,144,\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$?

А это вопрос. Сколько элементов в множестве выше?

[khasanov.sm]

Otta в сообщении #1372289 писал(а):

khasanov.sm в сообщении #1372274 писал(а):

$X^+ = \left\lbrace121,144,\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$?

А это вопрос. Сколько элементов в множестве выше?

Три?

[Someone]

khasanov.sm в сообщении #1372271 писал(а):

нет последователя вида $\left\lbrace\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$

А это множество последователем чего является?

khasanov.sm в сообщении #1372271 писал(а):

$$ Z = X \cup P(X) = \left\lbrace121,144,\varnothing, \left\lbrace121\right\rbrace,\left\lbrace144\right\rbrace,\left\lbrace121,144\right\rbrace\right\rbrace$$

Полученное множество $Z$ на первый взгляд является индуктивным

Да??? А какой последователь у элемента $121$? И какой последователь у элемента $\varnothing$?

[khasanov.sm]

Цитата:

Да??? А какой последователь у элемента $121$? И какой последователь у элемента $\varnothing$?

Это я уже понял, что приведенное множество не является индуктивным. Приведите пожалуйста пример индуктивного.

[Otta]

khasanov.sm
А Вы зачем? ))
Начинайте. Пустое множество туда входит. Значит входит и что? но тогда входит и что еще? и так далее.

[Mikhail_K]

khasanov.sm в сообщении #1372469 писал(а):

Приведите пожалуйста пример индуктивного.

Это сделать можно, но перед этим подумайте вот над чем: если бы такое множество было чем-то вроде Вашего, $\{121,144\}$, то аксиома бесконечности вообще не понадобилась бы! Потому что тогда существование индуктивного множества не пришлось бы постулировать (в аксиоме бесконечности), а можно было бы легко доказать: а именно, записать это самое множество и сказать: смотрите, оно индуктивное.
А раз потребовалась аксиома, значит с этим есть какие-то проблемы.

[khasanov.sm]

Otta в сообщении #1372473 писал(а):

khasanov.sm
А Вы зачем? ))
Начинайте. Пустое множество туда входит. Значит входит и что? но тогда входит и что еще? и так далее.

А значит также в него входит последователь пустого подмножества $\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$, для которого также определен последователь $\left\lbrace\left\lbrace\varnothing\right\rbrace\right\rbrace$, являющийся элементом данного множества. Имеем бесконечно вложение пустого множества, следовательно наше множество является индуктивным. Что ж хорошо, идею математики абстрактной я вкусил. Но понять физическую суть этого объекта, пока не возможно)

[Otta]

khasanov.sm в сообщении #1372693 писал(а):

пустого подмножества $\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$, для которого также определен последователь $\left\lbrace\left\lbrace\varnothing\right\rbrace\right\rbrace$

Оно не последователь.