Большой канонический ансамбль

[StaticZero]

У меня вопрос по процедуре получения вида функции распределения.

В случае канонического ансамбля она применяется следующим образом.

(Оффтоп)

Говорится, что рассматривается очень большое множество систем, в каждой из которых одинаковое число частиц (так что точки, отвечающие системам, попадают в одно и тоже фазовое пространство) и средняя энергия по ансамблю есть интеграл

$$ E = \int' \mathrm d \Gamma \ \rho(q, p) H(q, p). $$

Еще есть условие нормировки

$$ 1 = \int' \mathrm d \Gamma \ \rho(q, p) $$

и максимиризуется энтропия

$$ \sigma = -\int' \mathrm d \Gamma \ \rho \ln \rho $$

при наложенных условиях.

В случае БКА, насколько я могу понять, процедура следующая. Говорится, что рассматривается очень большое множество систем. Эти системы сортируются сначала по количеству частиц, так что получаются "карманы" с $N = 0, 1, 2, \ldots$, в которые попадают системы, у которых средняя энергия по карману

$$ E_n = \int' \mathrm d \Gamma_n \ \rho_n H_n. $$

где при разных $n$ интегралы берутся по разным фазовым пространствам (разная размерность). Еще есть интеграл

$$ \boldsymbol 1_n = \int' \mathrm d \Gamma_n \ \rho_n. $$

Вроде бы, условие на постоянство по всему ансамблю средней энергии состоит в том, что

$$ \sum \limits_n E_n = E, $$

условие нормировки

$$ \sum \limits_n \boldsymbol 1_n = 1. $$

А дальше у меня затык: как "присобачить" сюда условие на среднее число частиц?

В лекциях, например, выписана формула

$$ \sum \limits_{n=0}^\infty \langle n \rangle_n = N, $$

которую решительно невозможно понять (описанием не снабжена), Куни вообще эту процедуру полностью пропустил, в Ландавшице машут руками (как всегда?). В общем, прошу помощи.

-- 26.01.2019 в 23:36 --

Да собственно такой же вопрос будет касаться и изотермо-изобарического ансамбля. Там только уже будет не счетное число карманов, а континуум таких карманов, и интегралы будут иметь вид

$$ E = \int \limits_0^\infty E_V \ \mathrm dV, \quad 1 = \int \limits_0^\infty \boldsymbol 1_V \ \mathrm dV, $$

и проблема будет и со средним объёмом.

-- 26.01.2019 в 23:51 --

Я по косвенным признакам сделал заключение, что третье условие должно иметь вид

$$ N = \sum \limits_n n \cdot \boldsymbol 1_n $$

(соответственно в изот.-изоб. ансамбле $V = \int \limits_0^\infty \mathrm dv \ v \cdot \boldsymbol 1_v$), но я пока не понимаю почему это верно, как надо думать, чтобы к этому прийти?

[amon]

StaticZero в сообщении #1372131 писал(а):

У меня вопрос по процедуре получения вида функции распределения.

Гляньте у Румера (Румер Рывкин, Термодинамика, стат. физика и кинетика) параграф 47 по изданию 1972 года. Там, вроде, более-менее по-человечески это написано. По-моему, еще у Климонтовича тоже более-менее понятно написано.

[StaticZero]

amon, текст там ужасен тяжёл в мелочах (хорошо, что он обширен), но общую идею, я, кажется. понял. Я несколько переиначу под себя. Если мы обозначим $n(N, V, E(p, q | N, V))$ --- число систем ансамбля, у которых $N$ частиц, объём которых заключён между $V$ и $V + \mathrm dV$ и которые изображаются точками в фазовом пространстве $\Gamma (N, V)$, попадающими в полосу $\mathrm d\Gamma$ между фазовыми кривыми, одна из которых $E(p, q)$, а вторая $E(p, q) + \mathrm dE(p, q)$, то мы в точности будем иметь

$$ n(N, V, E(p, q | N, V)) = \rho(p, q; N, V) \ \mathrm dV \mathrm d\Gamma $$

правильно?

[amon]

StaticZero в сообщении #1372146 писал(а):

правильно?

IMHO,

$$ n(N, V, E(p, q | N, V)) = \rho(p, q; N, V) \ \mathrm dV\, \mathrm d\Gamma\, \mathrm dN$$

У нас $N$ - равноправная термодинамическая переменная.

-- 27.01.2019, 00:45 --

[Munin]

StaticZero в сообщении #1372131 писал(а):

А дальше у меня затык: как "присобачить" сюда условие на среднее число частиц?

Может, бяка в том, что вы обозначили $1_n$ то, что единицами совсем не является?

[StaticZero]

amon в сообщении #1372151 писал(а):

У нас $N$ - равноправная термодинамическая переменная.

Дискретная же? То есть $\mathrm dN = 1$.

-- 27.01.2019 в 01:08 --

Munin в сообщении #1372154 писал(а):

$1_n$ то, что единицами совсем не является?

$\boldsymbol 1_n$ --- символическое обозначение для интеграла только по фазовому пространству одной лишь плотности распределения. Причем плотность распределения интегрируется по $2n$-мерному фазовому пространству $\Gamma_n$. Этот индекс $n$ торчит наружу интеграла, который был бы истинной единицей, если бы в ансамбле не было систем с другим (кроме $n$) числом частиц. Чтобы получить истинную единицу, нам $\boldsymbol 1_n$ надо просуммировать по дискретному множеству $0, 1, 2, \ldots$, как учит amon, а если ещё и объём свободен (то есть тогда торчали бы два индекса $\boldsymbol 1_{nv}$), то и по объёму тоже

[amon]

StaticZero в сообщении #1372160 писал(а):

Дискретная же?

А у Румера все дискретное, в том числе и объем с фазовым пространством, и в этом смысле никаких дифференциалов нет вообще. Поэтому их либо всех писать надо, либо ни одного. Посмотрите еще Климонтовича стат. физика, § 8. распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц. Как только у Вас Румер с Климонтовичем в голове совместятся, считайте, что про распределение Гиббса Вы все поняли.

[StaticZero]

Климонтович весьма хорош. Подход другой, но читается чуть проще, чем остальные статфизики.

(Оффтоп)

Я так понимаю, самые начала какой-то науки у Ландау вообще лучше не пытаться читать. Что кванты, что механика, что статфизика, оно так со всеми томами?

[Munin]

(Оффтоп)

Для меня начало кванто́в у Ландау - самое зачитанное место. Что, впрочем, не отменяет необходимости других учебников.

[amon]

StaticZero в сообщении #1372190 писал(а):

оно так со всеми томами?

Угу. ЛЛ, фактически, справочник по теор. физике. Как первый учебник не годится, но прочитать надо хотя бы для того, что бы говорить на одном языке.

[StaticZero]

Я нашёл ответ на свой вопрос. "Единицы" $\boldsymbol 1_n$, которые я ввёл здесь, на самом деле представляют собой вероятности иметь $n$ частиц (Куни, 18.34). В этом смысле условия на количество частиц становятся совершенно понятными. Подозреваю, что с объёмами такое же дело: $\boldsymbol 1_v$ будет давать вероятность объёму оказаться в интервале $(v, v + \mathrm dv)$.