Критерий Сильвестра (перестановка аргументов)

[MestnyBomzh]

Я решаю задачу по исследованию функции нескольких переменных на экстремум. Предположим, я получил матрицу Гессе:

1) Верно ли я понимаю, что согласованная перестановка строк и столбцов не меняет определённости матрицы (поскольку это равносильно тому, что мы в другом порядке записываем производные)?
2) Что делать, если один из миноров получился равным нулю? Можно ли использовать утверждение 1), чтобы избавиться от неопределенности?
Например, для матрицы

$$\begin{pmatrix} 0 & 4& 12 \\ 4& -2& 0\\ 12&0 & 6 \end{pmatrix}$$

получается, что $\delta_1 = 0$, неопределенность
Можно согласованно переставить строки и столбцы следующим образом:

$$\begin{pmatrix} -2&0 &4 \\ 0&6 &12 \\ 4&12 &0 \end{pmatrix}$$

Тогда тут получим, что $\delta_1 < 0$, $\delta_2 < 0$ и это означает, что матрица не определена?

[Otta]

1) Верно.
2) Можно, хотя немного извращение.

И вообще матрица Гессе и ее специфика тут не при делах, имеет значение только определяемая ею квадратичная форма. И способ (2) - тоже не панацея от нулей. А смотреть надо именно на квадратичную форму. Лучше всего на нее смотреть, естественно, в каноническом виде, по которому сразу и видно и определенность, и не-.

[Vince Diesel]

А зачем переставлять, какие знаки у миноров исходной матрицы?

[bot]

Причём достаточно двух первых.

[MestnyBomzh]

Vince Diesel в сообщении #1371331 писал(а):

А зачем переставлять, какие знаки у миноров исходной матрицы?

Так первый минор равен нулю, неопределенность. Или Вы имеете в виду, что второй минор имеет знак минус, что автоматически означает, что исследумая точка седловая?

[teleglaz]

MestnyBomzh в сообщении #1371709 писал(а):

второй минор имеет знак минус, что автоматически означает, что исследумая точка седловая

Миноры минорам рознь. Вы, я так понимаю, про угловые толкуете. Тогда если ваш первый угловой минор равен нулю, то критерий Сильвестра не работает, достаточные условия экстремума не выполняются, угловые миноры можно больше не считать.
Дальше неплохо бы проверить необходимые условия экстремума второго порядка. Авось они сломаются и экстремума нет. Посмотрим на все главные миноры первого порядка. Они имеют разные знаки. Ура. Необходимые условия второго порядка не выполняются. Экстремума нет.
Если бы они выполнились, то к огромной радости решающего потребовалось бы дополнительное исследование функции.

[MestnyBomzh]

teleglaz
да, я именно про угловые и говорю, ровно так и написано в Критерии Сильвестра. А Вы предлагаете какие считать миноры? По "главным минорам" я нашел следующее определение: "главный минор порядка k матрицы А, т.е. минор, расположенный на пересечении k строк и k столбцов матрицы А с одинаковыми номерами"
Тогда в нашем случае главные миноры первого порядка: $0; -2; 6$, тут опять ноль вылез

[teleglaz]

MestnyBomzh в сообщении #1371774 писал(а):

тут опять ноль вылез

Это не важно. Ещё раз. После фиаско с достаточными условиями экстремума, есть смысл поэкспериментировать с необходимыми условиями второго порядка (раз уж матрица Гессе уже найдена), которые можно сформулировать так:
Для того чтобы матрица Гессе $H(x^*)$ была положительно полуопределенной $H(x^*)\geq 0$ и точка $x^*$ может быть являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы Гессе были неотрицательны.
Ну или для того чтобы матрица Гессе $H(x^*)$ была отрицательно полуопределенной $H(x^*)\leq 0$ и точка $x^*$ может быть являлось точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры чётного порядка были неотрицательны, а все главные миноры нечётного порядка - неположительны.

Так что, то, что там вылез нуль это не важно. Важно другое. Я об этом писал выше. Вы поняли что?

[MestnyBomzh]

Да, я понял. То бишь в данном случае есть необходимый и достаточный критерий положительной/отрицательной полуопределенности матрицы
Если этот критерий выполнен => точка $x^*$ как может быть минимумом/максимумом, так и седловой
Если этот критерий не выполнен => точка $x^*$ является седловой

[teleglaz]

Да, верно. А учитывая, что главные миноры первого порядка есть диагональные элементы, то их знакоопределенность можно проверить методом пристального взора. Конечно, может и не повезти и придется считать миноры второго и выше порядка. Ну, бывает. Но для трех переменных это не смертельно ещё.

[bot]

MestnyBomzh в сообщении #1371709 писал(а):

Или Вы имеете в виду, что второй минор имеет знак минус, что автоматически означает, что исследумая точка седловая?

bot в сообщении #1371384 писал(а):

Причём достаточно двух первых.

Иначе говоря, почему бы просто не обнулить третью переменную в форме?