Норма функционала

[hollo]

В $C[-1,1]$ найти норму $f(x) = \int\limits_{0}^{1} t^{\frac{2}{3}} x(t^2) dt$
Оценка получилась такая:
$t^2 = \tau$,

$\int\limits_{0}^{1} \frac{ \tau^{\frac{1}{3}}}{2 \sqrt{ \tau}} x( \tau )d \tau \leqslant \left\lVert x \right\rVert \int\limits_{0}^{1} \frac{ \tau^{\frac{1}{3}}}{2 \sqrt{ \tau}} d \tau = \frac{3}{5} \left\lVert x \right\rVert$ и $\left\lVert f \right\rVert \leqslant \frac{3}{5}$

Если оценка правильная, то получается, что подходит $x(t^2)=1$ и
$f(x)=$\begin{cases} nt,&\text{если $x \in [0, \frac{1}{n}]$;}\\ 1,&\text{если $x \in [ \frac{1}{n} ,1]$.} \end{cases}$$
Правильно ли нашел оценку и подобрал функцию?

[thething]

Задание точно такое?

hollo в сообщении #1371092 писал(а):

В $C[-1,1]$ найти норму $f(x) = \int\limits_{0}^{1} t^{\frac{2}{3}} x(t^2) dt$

Или может всё-таки $C[0,1]$? Или интеграл от $-1$?

Если интеграл от нуля, то верхняя оценка правильная, нижнюю не понял. Выбирайте функцию $x(\tau)$ для нового функционала (не надо работать то со старым, то с новым). Функция тривиальная.

[hollo]

thething
Нет, все же $C[-1,1]$. Как тогда учесть $[-1,0]$ в оценке?

[thething]

Так интеграл-то от нуля идёт или всё-таки от $-1$?

[hollo]

thething
А интеграл от нуля. Возможно это опечатка

[thething]

Случай с интегралом на отрезке $[-1,1]$ чуть-чуть поинтереснее, а этот совсем простой.

Ну и какую функцию $x(\tau)$ на отрезке $[0,1]$ подберете?

[hollo]

thething
$x( \tau)=$\begin{cases} n \sqrt{ \tau},&\text{если $ \tau \in[0, \frac{1}{n}]$;}\\ 1,&\text{если $ \tau \in [ \frac{1}{n}, 1]$.} \end{cases}$$
При стремлении $n$ к бесконечности, функция будет стремится к $1$

[thething]

Не мудрите, разве всегда обязательно выбирать функции так, чтобы они к чему-то стремились? А просто подобрать, чтобы сразу подставилось и дало ответ нельзя?

[hollo]

thething
Тогда просто $x( \tau)=1$

[thething]

hollo в сообщении #1371118 писал(а):

Тогда просто $x( \tau)=1$

Йес!

[hollo]

thething
Спасибо!

[hollo]

thething
А если будет все тоже самое, только в $L^1[-1,1]$, то уже $x( \tau)=1$ не подойдет и нужно брать такую функцию

$$x_n( \tau)=\begin{cases} 1,&\text{если $x \in [\frac{1}{n},1]$;}\\ n \tau,&\text{если $x \in [0, \frac{1}{n}]$.} \end{cases}$$

$\left\lVert x_n ( \tau ) \right\rVert \to 1$ и $f (x_n ( \tau)) = \int\limits_{0}^{1} t^{\frac{2}{3}} x( \tau) \to \frac{3}{5}$?

[mihaild]

А в $L^1$ уже верхнюю оценку надо как-то иначе считать - там неравенство $x(\tau) \leqslant \|x\|_1$ может быть не выполнено.

[thething]

hollo
Этот функционал не определен на всем $L_1$, т.к., например при $x_n(\tau)=\frac{1}{n}\tau^{\frac{1}{n}-1}$, $\left\lVert x_n\right\rVert=1$, но при каких-то $n$ получится расходящийся интеграл. Так что такой функционал попросту неограничен.

[hollo]

mihaild в сообщении #1372961 писал(а):

А в $L^1$ уже верхнюю оценку надо как-то иначе считать - там неравенство $x(\tau) \leqslant \|x\|_1$ может быть не выполнено.

$f(x) \leqslant \sup\limits_{-1 \leqslant \tau \leqslant 1} \frac{ \tau^{\frac{1}{3}}}{2\sqrt{ \tau}} \int\limits_{0}^{1} \left\lvert x( \tau) \right\rvert d \tau = \frac{1}{2} \left\lVert x \right\rVert \Rightarrow f \leqslant \frac{1}{2}$

thething в сообщении #1372969 писал(а):

Этот функционал не определен на всем $L_1$, т.к., например при $x_n(\tau)=\frac{1}{n}\tau^{\frac{1}{n}-1}$, $\left\lVert x_n\right\rVert=1$, но при каких-то $n$ получится расходящийся интеграл. Так что такой функционал попросту неограничен.

Это значит, что нормы нет?