Параметризация поля и СНС

[Gickle]

Всем здравствуйте. Изучаю сейчас следующую статью: H. Watanabe, H. Murayama, arXiv:1203.0609v3 [hep-th]. Там, в частности, рассматривается следующий лагранжиан (19):

$$\mathcal{L} = i \psi^{\dagger} \partial_t \psi - \frac{1}{2m} \nabla \psi^{\dagger} \nabla \psi + \mu \psi^{\dagger} \psi - \frac{\lambda}{4} \left(\psi^{\dagger} \psi \right)^2 - \frac{\kappa}{4} |\psi^{T} \psi |^2,$$

где $\psi = (\psi_{+1},\psi_{0},\psi_{-1})^{T}$ -- трёхкомпонентное комплексное поле. Конкретный вид лагранжиана для дальнейшего не очень важен, но он $SO(3) \times U(1)$-симметричный и является моделью разреженного спин-1 Бозе газа.

Интересует следующий вопрос. Вот при $-\lambda < \kappa < 0$, например, симметрия спонтанно нарушается и получается следующий вакуум (polar phase):

$$\psi^{(0)} = v_p (0,0,1)^{T}, \quad v_p = \sqrt{2\frac{\mu}{\lambda + \kappa}}.$$

А вот далее авторы говорят, мол, а теперь давайте параметризуем произвольную полевую конфигурацию в виде

$$\psi = (v_p + h) e^{i \theta} (\vec{n} + \vec{\chi}), \quad \vec{n}^2 = 1, \ \vec{n} \bot \vec{\chi},$$

имея в виду, что далее рассматривать будем в смысле флуктуаций вокруг озвученного выше среднего поля. Аналогично поступают в случае ферромагнетика (см (20) и (23)).

Честно сказать, из каких соображений выбрана именно такая параметризация -- я понять не могу. Понятно, что должно быть поле флуткуаций общей плотности $h$, аналогично с общей фазой $\theta$, а вот остальное... К сожалению, я геометрическими методами практически не владею, так что для меня это выглядит чёрной магией. В общем случае, исходя из того, что я знаю о теореме Голдстоуна, я бы ожидал чего-то вроде:

$$\psi = e^{i \pi^a(x) T_a}[\psi^{(0)}(x) + h(x)],$$

где $h(x)$ отвечает оставшимся тяжёлым модам, $T_a$ -- "нарушенные генераторы", $\pi^a(x)$ -- голдстоуновские моды. Но тут как будто бы что-то другое. Да и ферромагнитный случай, где они пишут

$$\psi = (v_f + h) \frac{e^{i \theta}}{\sqrt{2} (1 + z^{*}z)} \begin{pmatrix} 1 - z^2 \\ i(1 + z^2) \\ 2 z \end{pmatrix},$$

на это явно намекает. Связано это, как я понимаю, с тем, что у системы отсутствует Лоренц-инвариантность, из-за чего здесь, например, появляются взаимно сопряжённые голдстоуновские поля.

Как такие параметризации получаются в общем случае? Особенно меня интересует ситуация, когда к лагранжиану добавляется ещё один член $-q \psi^{\dagger} f_z^2 \psi$, где $f_z = \operatorname{diag}(1,0,-1)$, что явно ломает симметрию $SO(3)$ до $SO(2)$. При этом для определённых значений параметров появляется ещё одна интересная конфигурация вакуума:

$$\psi^{(0)}_{\mathrm{ep}} = \frac{e^{i \varphi}}{2} \begin{pmatrix} e^{-i \alpha} \sqrt{1 - q/2}\\ \sqrt{2 + q} \\ e^{i \alpha} \sqrt{1 - q/2} \end{pmatrix},$$

которая отвечает спонтанному нарушению $SO(2)$.

Вопрос: можно ли из каких-то соображений (и из каких) параметризовать в данном случае поле подобно тому, как это было сделано в указанной выше работе? Сам я теряюсь -- понимаю, что скорее всего опять будут поля, отвечающие флуктуациям общей фазы и общей плотности, но дальше теряюсь. Был бы очень благодарен за помощь!

[Munin]

Gickle в сообщении #1369179 писал(а):

Конкретный вид лагранжиана для дальнейшего не очень важен, но он $SO(3) \times U(1)$-симметричный

А почему не $\mathrm{SU}(3)$?

Gickle в сообщении #1369179 писал(а):

Вот при $-\lambda < \kappa < 0$, например, симметрия спонтанно нарушается и получается следующий вакуум (polar phase):

$$\psi^{(0)} = v_p (0,0,1)^{T}, \quad v_p = \sqrt{2\frac{\mu}{\lambda + \kappa}}.$$

А вот далее авторы говорят, мол, а теперь давайте параметризуем произвольную полевую конфигурацию в виде

$$\psi = (v_p + h) e^{i \theta} (\vec{n} + \vec{\chi}), \quad \vec{n}^2 = 1, \ \vec{n} \bot \vec{\chi},$$

имея в виду, что далее рассматривать будем в смысле флуктуаций вокруг озвученного выше среднего поля.

Я чё-то не врубаюсь, а что это за параметризация? $\vec{n}=(0,0,1)^\mathrm{T},$ или про его направление вообще ничего не известно? Если да, то просто хотят, очевидно, разделить такие вещи, как поворот вектора ($\vec{\chi}$), колебания длины вектора ($h\in\mathbb{R}$) и колебания его фазы ($\theta$). Если нет... - то туманно.

Gickle в сообщении #1369179 писал(а):

В общем случае, исходя из того, что я знаю о теореме Голдстоуна, я бы ожидал чего-то вроде:

$$\psi = e^{i \pi^a(x) T_a}[\psi^{(0)}(x) + h(x)],$$

где $h(x)$ отвечает оставшимся тяжёлым модам, $T_a$ -- "нарушенные генераторы", $\pi^a(x)$ -- голдстоуновские моды.

По сути, здесь то же самое, но вместо чтоб возиться с матричными экспонентами, всё это вынесено в множитель $(\vec{n}+\vec{\chi})$ (а в экспоненте оставили одну скалярную фазу).

В общем, советую на минуточку "вернуться к корням", и проштудировать
Фейнмановские лекции по физике. Вып. 8. Квантовая механика (I). Глава 3. Спин единица.
Там рассказано, какой геометрический смысл у компонент $\psi=(\psi_{+1},\psi_{0},\psi_{-1})^\mathrm{T}.$ Надеюсь, это поможет.

[Gickle]

Munin в сообщении #1369186 писал(а):

А почему не $\mathrm{SU}(3)$?

Последний член не $SU(3)$-симметричный.

Munin в сообщении #1369186 писал(а):

Я чё-то не врубаюсь, а что это за параметризация? $\vec{n}=(0,0,1)^\mathrm{T},$ или про его направление вообще ничего не известно? Если да, то просто хотят, очевидно, разделить такие вещи, как поворот вектора ($\vec{\chi}$), колебания длины вектора ($h\in\mathbb{R}$) и колебания его фазы ($\theta$). Если нет... - то туманно.

Честно сказать, я тоже не совсем понимаю. Сначала тоже подумал, что $\vec{n} = (0,0,1)^T$, то есть среднеполевое значение, а $\vec{\chi}$ флуткуация направления вектора. Но нет, у них потом $\vec{n}$ фигурирует в качестве динамического поля.

Munin в сообщении #1369186 писал(а):

По сути, здесь то же самое, но вместо чтоб возиться с матричными экспонентами, всё это вынесено в множитель $(\vec{n}+\vec{\chi})$ (а в экспоненте оставили одну скалярную фазу).

Но ведь с ферромагнитным случаем так явно не получится, не? Ну, то есть их параметризация не сводится к "стандартной". Или я просто не вижу?

В другой статье (arXiv:1402.7066v3 [hep-th]) эти же авторы приводят ещё пример $U(N+1)$-симметричного лагранжиана (239):

$$\mathcal{L} = i \psi^{\dagger} \partial_t \psi - \frac{1}{2m} \nabla \psi^{\dagger} \nabla \psi - \frac{\lambda}{2} \left(\psi^{\dagger} \psi - n_0\right),$$

где $\psi$ является $(N+1)$-компонентным комплексным скалярным полем. Эта теория допускает спонтанное нарушение $U(N+1)$ до $U(N)$ с вакуумом $\psi^{(0)} = \sqrt{n_0} (1,0,\ldots,0)^T$. И дальше они пишут:

Цитата:

In this case, the original $U(n + 1)$ symmetry is broken to $U(n)$ symmetry. The coset space $U(n+ 1)/U(n) = S^{2n+1}$ does not admit a symplectic structure. Therefore, we have to carefully parametrize the coset space. Since $U(n + 1)/[U(n) \times U(1)] \cong CP^n$, which does admit a symplectic structure, we view $S^{2n+1}$ as a $U(1)$ bundle on $CP^n$. The symplectic two-form lives on $CP^n$. We parametrize the field $\psi(x)$ as

$$\psi = \sqrt{n} \frac{e^{-i \theta}}{\sqrt{1 + z^{\dagger} z}} \begin{pmatrix} 1 \\ z \end{pmatrix}\,,$$

where $z(x)$ is an $n$-dimensional column vector.

Честно говоря, для меня это практически птичий язык, к сожалению. Но, как понимаю, какой-то такой же логикой они пользуются и в изначальном примере (то есть пользуются какими-то "хитрыми" геометрическими причинами для параметризации "остаточной" симметрии).

Munin в сообщении #1369186 писал(а):

В общем, советую на минуточку "вернуться к корням", и проштудировать
Фейнмановские лекции по физике. Вып. 8. Квантовая механика (I). Глава 3. Спин единица.
Там рассказано, какой геометрический смысл у компонент $\psi=(\psi_{+1},\psi_{0},\psi_{-1})^\mathrm{T}.$ Надеюсь, это поможет.

Спасибо за ссылку. Полистал мельком пока что, потом ещё посмотрю. Но как-то нет ощущения, что это сильно поможет. Здесь всё-таки какую-то геометрию (в смысле той, что "нормальная математика") надо понимать, видимо.

[Munin]

Gickle в сообщении #1369198 писал(а):

Но нет, у них потом $\vec{n}$ фигурирует в качестве динамического поля.

Это место надо потщательней почитать. Может быть, у них буковка меняет смысл. Или, скажем, в начале можно считать, что $\vec{n}=(0,0,1)^\mathrm{T},$ а потом - что это некий фон, хотя и не вакуум, и над ним дальше рассматривают возмущения.

Gickle в сообщении #1369198 писал(а):

Но ведь с ферромагнитным случаем так явно не получится, не?

Про ферромагнетизм я просто не в курсе :-( Подождите твердотельщиков.

Gickle в сообщении #1369198 писал(а):

Но, как понимаю, какой-то такой же логикой они пользуются и в изначальном примере (то есть пользуются какими-то "хитрыми" геометрическими причинами для параметризации "остаточной" симметрии).

Честно говоря, не очень понимаю даже, чем одна параметризация лучше или хуже другой. Надо следить за особыми точками, и всё. Ну и линеаризациями заниматься аккуратно.

Gickle в сообщении #1369198 писал(а):

Здесь всё-таки какую-то геометрию (в смысле той, что "нормальная математика") надо понимать, видимо.

Из второй статьи вы привели хорошую цитату, которая мне понятна (и я бы, может, взялся её пересказать). Может, вы достаточно большую "геометрическую" цитату приведёте из первой статьи, с которой начали тему?

[Gickle]

Munin в сообщении #1369208 писал(а):

Это место надо потщательней почитать. Может быть, у них буковка меняет смысл. Или, скажем, в начале можно считать, что $\vec{n}=(0,0,1)^\mathrm{T},$ а потом - что это некий фон, хотя и не вакуум, и над ним дальше рассматривают возмущения.

Во-первых, я сверху слегка ошибся -- потерял мнимую единицу перед $\vec{\chi}$, то есть параметризация на самом деле имеет вид:

$$\psi = (v_p + h) e^{i \theta} (\vec{n} + i\vec{\chi}), \quad \vec{n}^2 = 1, \ \vec{n} \bot \vec{\chi}.$$

Во-вторых, я ещё раз перечитал этот кусок и пока что по-прежнему не вижу, где затерялся вакуум $(0,0,1)^{T}$, поскольку и $\vec{n}$, и $\vec{\chi}$ у них являются динамическими полями. По сути, можно сверится даже с их ответом, поскольку после подстановки этой параметризации они интегрируют по $h$ и $\vec{\chi}$, получая некоторый эффективный лагранжиан. Постараюсь провести эти выкладки сам в ближайшем будущем, как время чуть побольше будет. Наконец, надо отметить, что с точки зрения числа степеней свободы вроде всё чисто: изначально было $3 \times 2$ штук, в параметризации же по одной от $h$ и $\theta$, по три от $h$ и $\vec{\chi}$, минус две из-за наличия двух связей, то есть тоже $6$. В этом смысле вопрос только в том, куда потерялся вакуум.

Munin в сообщении #1369208 писал(а):

Про ферромагнетизм я просто не в курсе Подождите твердотельщиков.

Это просто другое нарушенное состояние для того же лагранжиана: $\psi^{(0)} = \frac{v_f}{\sqrt{2}}(1,i,0)^T$. В этом случае они предлагают использовать

$$\psi = (v_f + h) \frac{e^{i \theta}}{\sqrt{2} (1 + z^{*}z)} \begin{pmatrix} 1 - z^2 \\ i(1 + z^2) \\ 2 z \end{pmatrix},$$

где $z$ -- комплексное поле. Здесь уже вакуум отчётливо виден, но при этом меня несколько настораживает, что число степеней свободы "проседает": их в этой параметризации всего $4$.

Munin в сообщении #1369208 писал(а):

Честно говоря, не очень понимаю даже, чем одна параметризация лучше или хуже другой. Надо следить за особыми точками, и всё. Ну и линеаризациями заниматься аккуратно.

Насколько я могу понять, здесь всё из-за отсутствия Лоренц-инвариантности. Из-за этого "наивная" теорема Голдстоуна перестаёт работать. Число голдстоуновских мод уже не есть $n(G) - n(H)$, как обычно, а может быть и меньше. Поэтому, видимо, и стандартная параметризация не работает так, как надо, так что приходится прибегать к каким-то геометрическим рассуждениям. В общем, в статье авторы как раз всё это тщательно и исследуют.

Munin в сообщении #1369208 писал(а):

Из второй статьи вы привели хорошую цитату, которая мне понятна (и я бы, может, взялся её пересказать). Может, вы достаточно большую "геометрическую" цитату приведёте из первой статьи, с которой начали тему?

Там в конце есть параграф Underlying geometry, который я и привожу ниже:

Цитата:

Having demonstrated our theorem (см. ниже) at work in very different examples, we now study the underlying geometry. Usually, canonically conjugate pairs in mechanics (such as type B NGBs) imply a symplectic structure mathematically, which requires an even-dimensional manifold $M$, and if closed, a nontrivial second de Rham cohomology $H^2(M) \neq 0$. However, we have seen in the last two examples that type A and type B NGBs can coexist on an odd-dimensional $M$ with $H^2(M)=0$. This puzzle can be solved as follows.

The time integral of the first term in

$$\mathcal{L}_\mathrm{eff} &=& c_a(\pi)\dot{\pi}^a +\frac{1}{2}\bar{g}_{ab}(\pi)\dot{\pi}^a\dot{\pi}^b -\frac{1}{2}g_{ab}(\pi)\partial_r\pi^a\partial_r\pi^b \nonumber \\ & & +O(\partial_t^3,\partial_t\partial_r^2,\partial_r^4)$$

defines a one-form $c= c_a d \pi^a$ on the coset space, and its exterior derivative gives a closed two-form $\sigma=dc$. Using the coordinates in

$$c_a(\pi)\dot{\pi}^a =\sum_{\alpha=1}^m\frac{1}{2}\lambda_{\alpha} (\tilde{\pi}^{2\alpha}\dot{\tilde{\pi}}^{2\alpha-1} -\dot{\tilde{\pi}}^{2\alpha}\tilde{\pi}^{2\alpha-1}),$$

$\sigma =\sum_{\alpha=1}^m\lambda_\alpha \tilde{\pi}^{2\alpha}\wedge d\tilde{\pi}^{2\alpha-1}$ for $m$ type B NGBs, which resembles a symplectic two-form. However, type A NGB fields for the remaining $n_{\mathrm{BG}}-2m$ broken generators do not have terms with first order in time derivatives, and hence do not take part in $\sigma$. Therefore, $\sigma$ has a constant rank but is degenerate, and hence is not a symplectic structure in the usual sense.

This kind of a partially symplectic (or presymplectic) structure is possible on a coset space by considering the following fiber bundle, $F\hookrightarrow G/H\stackrel{\pi}{\rightarrow}B$, where the base space $B = G/(H\times F)$ is symplectic. The fiber $F$ is a subgroup of $G$ that commutes with $H$. The symplectic structure $\omega$ on $B$ is pulled back to $G/H$ as $\sigma=\pi^{*} \omega$. Since $d\omega=0$ on $B$ implies $d\sigma = 0$ on $G/H$, we can always find a one-form $c$ such that $dc = \sigma$ locally on $G/H$, which appears in $\mathcal{L}_{\mathrm{eff}}$. Type B NGBs live on the symplectic base manifold $B$, whose coordinates form canonically conjugate pairs, while the type A NGBs live on the fiber $F$, each coordinate representing an independent NGB. The type A and type B NGBs can coexist on $G/H$ in this fashion.

The Heisenberg ferromagnetic model has the coset space $S^2 = {\mathbb C}{\mathrm P}^1$ which is Kähler and hence symplectic, with one type B NGB. On the other hand, the spinor BEC example in its ferromagnetic state has $G/H={\mathbb R}{\mathrm P}^3$ which is not symplectic. The last term in

$$\mathcal{L}_{\mathrm{eff}} = \hbar v^2_f i \frac{z^* \dot{z} - \dot{z}^* z}{1+z^{*} z} + \frac{\hbar^2}{\lambda} \left( \dot{\theta} -i \frac{z^{*} \dot{z} - \dot{z}^{*} z}{1 + z^{*} z}\right)^2 - \frac{\hbar^2 v^2_f}{2m} \left[ \left(\partial_r \theta -i \frac{z^{*} \partial_r{z}-\partial_r{z}^{*} z}{1+z^* z}\right)^2 + \frac{2\partial_r z^* \partial_r z}{(1+z^* z)^2}\right]$$

is nothing but the Fubini--Study metric on $S^2 = \mathbb{C}\mathrm{P}^{1}$ which is Kähler and hence symplectic. The first term in $L_{\mathrm{eff}}$ defines the one-form $c$ whose exterior derivative ${\mathrm d}c$ gives precisely the Kähler form associated with the metric up to normalization. However $\theta$ is an orthogonal direction with no connection to the symplectic structure. We can define the projection $\pi:{\mathbb R}{\mathrm P}^3 \rightarrow S^2$ simply by eliminating the $\theta$ coordinate. It shows the structure of a fiber bundle $\mathrm{U}(1) \hookrightarrow {\mathbb R}{\mathrm P}^3 \stackrel{\pi}{\rightarrow} \mathbb{C}\mathrm{P}^{1}$, which is the well-known Hopf fibration (the difference between $S^3$ and ${\mathbb R}{\mathrm P}^3 = S^3/{\mathbb Z}_2$ is not essential here). The phonons in the magnetic field also show a partially symplectic structure.

In fact, it is always possible to find such a symplectic manifold $B$ if $G$ is compact and semisimple, thanks to Borel's theorem. Generalizations to non-semi-simple groups would be an interesting future direction in mathematics.

Теорема писал(а):

Пусть $n_{\mathrm{NGB}}$ -- число намбу-голдстоуновских бозонов, а $n_{\mathrm{BG}}$ -- число сломанных генераторов. Тогда

$$n_{\mathrm{BG}} - n_{\mathrm{NGB}} = \frac{1}{2} \operatorname{rank} \rho,$$

где

$$\rho_{ij} \equiv \lim_{\Sigma \to \infty} \frac{-i}{\Omega} \langle 0 | [Q_i,Q_j] | 0 \rangle.$$

Здесь $Q_i$ -- генераторы (полной) симметрии, а $\Omega$ -- пространственный объём системы.

Контекст я постарался восполнить, насколько смог, но всё же может быть проблемным восприятие. Подробности можно найти в статье. Та, что из оригинального сообщения в теме, к слову, всего $5$ страниц (в PRL была опубликована) и доступна в arXiv. Вторая статья -- гораздо более объёмная ($35$ страниц где-то), но там, как понимаю, тонкости теоремы и геометрических построений рассказаны в деталях.

[Munin]

Gickle в сообщении #1369381 писал(а):

Во-первых, я сверху слегка ошибся -- потерял мнимую единицу перед $\vec{\chi}$, то есть параметризация на самом деле имеет вид:

$$\psi = (v_p + h) e^{i \theta} (\vec{n} + i\vec{\chi}), \quad \vec{n}^2 = 1, \ \vec{n} \bot \vec{\chi}.$$

Хм, это сильно другое дело. Надо ещё подумать, однозначна ли такая параметризация. Но теперь понятно, почему $\vec{n}$ может быть динамическим: просто можно взять моды $\vec{\chi}=\theta=0.$ (Меня смущает, что мнимую часть добавляют и тета и хи.)

Gickle в сообщении #1369381 писал(а):

Наконец, надо отметить, что с точки зрения числа степеней свободы вроде всё чисто: изначально было $3 \times 2$ штук, в параметризации же по одной от $h$ и $\theta$, по три от $h$ и $\vec{\chi}$, минус две из-за наличия двух связей, то есть тоже $6$.

Надо покумекать.

Gickle в сообщении #1369381 писал(а):

В этом смысле вопрос только в том, куда потерялся вакуум.

Ну, его в этой параметризации никогда и не было. Это мне (и видимо, вам) "музыкой навеяло", в начале темы. Теперь я вижу, что это была ошибочная ассоциация.

[Munin]

Gickle в сообщении #1369381 писал(а):

Underlying geometry

Цитата:

Usually, canonically conjugate pairs in mechanics (such as type B NGBs) imply a symplectic structure mathematically, which requires an even-dimensional manifold $M$, and if closed, a nontrivial second de Rham cohomology $H^2(M) \neq 0$. However, we have seen in the last two examples that type A and type B NGBs can coexist on an odd-dimensional $M$ with $H^2(M)=0$.

Симплектическая структура - это то, что физики называют (классической) скобкой Пуассона на фазовом пространстве. Она требует чётно-мерного пространства, и его топологической возможности "разлиновать на клеточки". В случае замкнутых пространств (таких как тор или сфера) - эта возможность называется "нетривиальной второй когомологией де Рама" - то есть, сфера не подходит, а тор подходит.

Зачем-то они хотят, чтобы NGB жили на таком пространстве, хотя мне это кажется странным: я полагал, что они могут жить на любой группе Ли симметрии, совершенно не обязательно симплефицируемой.

Coset space - фактор-пространство.
Two-form - то самое "разлинование на клеточки", 2-форма.
$S^2$ - обычная сфера (внутренней размерности 2).
$\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ - проективная комплексная прямая - комплексная плоскость, пополненная бесконечно удалённой точкой.
Kähler space - кэлерово пространство - такое, которое одновременно наделено метрикой типа римановой, и локальной комплексной структурой, то есть похоже на комплексное обобщение риманова пространства. Комплексная структура легко превращается в действительную "скобку Пуассона" - симплектическую структуру.

Пока тут остановлюсь. Дальше я не уверен, что смогу, и что вам это надо, так что пока хочу получить реакцию на это.

[Gickle]

Munin
Извиняюсь за долгий ответ -- было много дел.

Munin в сообщении #1369508 писал(а):

Зачем-то они хотят, чтобы NGB жили на таком пространстве, хотя мне это кажется странным: я полагал, что они могут жить на любой группе Ли симметрии, совершенно не обязательно симплефицируемой.

Напишу, как я это понимаю. Разумеется, возможен эффект "глухого телефона". Авторы утверждают, что в Лоренц-неинвариантных системах могут существовать два типа NGB, которые они называют type-A и type-B. Вот как раз те, которые второго типа, живут в симплефицируемом фактор-пространстве, тогда как type-A -- нет. При этом, как пишут авторы:

Цитата:

The definitions of type-A and type-B NGBs are not based on their dispersion relations but on their symplectic structure, as we will discuss in detail later. For now, we just note that, generically, type-A NGBs have a linear dispersion and type-B NGBs have a quadratic dispersion, but there are exceptions. Therefore,

$$n_A + 2 n_B = \operatorname{dim} G/H$$

can be understood as the equality version of the Nielsen-Chadha theorem for most cases.

Поэтому в случае СНС в Лоренц-неинваринтных системах нужно рассмотреть получающееся фактор-пространство $G/H$ и, если оно не сиплефицируемо, нужно "разбить" на симплефицируемый кусок, в котором будут жить type-B бозоны, и несимплефицируемый, в котором будут жить type-A бозоны. Делается всё это с помощью формализма расслоений и прочих штук, которые я не очень понимаю. Но ноги всех этих странных параметризаций, насколько я могу судить, растут из вышесказанного.

Теперь я подожду вашей реакции. :)

[Munin]

Становится понятнее и интереснее, аж потянуло статью почитать.

Вот только, боюсь, рассказать про геометрию расслоений у меня уже пороху не хватит. Может быть, стоит попроситься в математический раздел форума.

[Gickle]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1370703 писал(а):

Может быть, стоит попроситься в математический раздел форума.

Боюсь, там меня камнями закидают за столь невнятную, с математической точки зрения, постановку вопроса. :) Да и ответы от математиков вряд ли особо понимать буду в этом случае. Впрочем, может, и стоит попробовать.

[Munin]

Нет, почему?

Вопрос первый: как геометрически устроены все перечисленные группы, их факторизации и соответствующие расслоения, их генераторы? Желательно в конкретном виде матриц и координат, или с отсылкой к нему.

Вопрос второй: кто из них допускает симплефикацию (введение симплектической структуры), какую (тоже с координатами) и почему?

-- 22.01.2019 18:55:24 --

Вот очень наглядная иллюстрация понятия расслоения:

warlock66613 в сообщении #1211527 писал(а):

Слева (прямая шестерня) — картина Шрёдингера, справа (шестерня-червяк) — картина Гейзенберга.
Картинка

Пояснение: выбор картины (Гейзенберга/Шрёдингера/другой) в квантовой механике — это задание связности в расслоённом пространстве с осью времени в качестве базы и слоем — гильбертовым пространством состояний.

Левая шестерня - прямое произведение, а правая - расслоение с базой - горизонтальной осью, и слоем - шестерёнкой в вертикальном сечении.

А вот расслоение посложнее:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibration
https://ru.wikipedia.org/wiki/Расслоение_Хопфа

Здесь базой служит двумерная сфера $S^2$ (на рисунке она "развёрнута" в круг, лежащий в половине меридиональной плоскости фигуры), а слоем - окружностью $S^1.$