Две катушки в магнитном поле

[Rusit8800]

Решаю задачу 36 из вступительных экзаменов МФТИ. Нашел 2 способа довести ее до конца: в первом случае я пренебрегаю изменением собственной составляющей $\[\frac{{d{\Phi _{{\text{соб}}}}}}{{dt}}\]$ изменения магнитного потока через первую катушку, вызванную индукционным током, или, эквивалентно, пренебрегаю индуктивностью $\[{L_1}\]$, во втором случае не пренебрегаю и получаю верный ответ. Я покажу первое решение. Мне интересно - я ли неправ или авторы действительно решили пренебречь индуктивностью?
Решение короткое:
Сначала я представляю цепь как последовательно соединенную ЭДС $\[{\mathcal{E}_{ind}}\]$ и катушки $L_1$ и $L_2$, причем $\[{\mathcal{E}_{ind}}\]$ равна ЭДС, вызванной изменением магнитного потока через $L_1$. Я записываю 2 правило Кирхгофа:

$$\[{\mathcal{E}_{ind}} = {L_1}\frac{{d{I_{ind}}}}{{dt}} + {L_2}\frac{{d{I_{ind}}}}{{dt}}\]$$

Дальше нужно расписать $\[{\mathcal{E}_{ind}}\]$. Тут уже проявляется разница в решении задач. Расписываю как в первом случае.

$$\[{\mathcal{E}_{ind}} = - \frac{{d\Phi }}{{dt}} = - \frac{{d{\Phi _{{\text{соб}}}}}}{{dt}} - \frac{{d{\Phi _{{\text{внеш}}}}}}{{dt}} = - \frac{{d({L_1}{I_{ind}})}}{{dt}} - \frac{{dB}}{{dt}}Sn = - \frac{{d{L_1}}}{{dt}}{I_{ind}} - \frac{{d{I_{ind}}}}{{dt}}{L_1} - \frac{{dB}}{{dt}}Sn = - \frac{{d{I_{ind}}}}{{dt}}{L_1} - \frac{{dB}}{{dt}}Sn\]$$

Во втором случае пишется

$$\[{\mathcal{E}_{ind}} = - \frac{{dB}}{{dt}}Sn\]$$

Теперь, если подставить полученные значения для $\[{\mathcal{E}_{ind}}\]$ и проинтегрировать, то в первом случае получится $\[{I_{ind}} = \frac{{BSn}}{{2{L_1} + {L_2}}}\]$, а во втором - $\[{I_{ind}} = \frac{{BSn}}{{{L_1} + {L_2}}}\]$. Где истина?

[AnatolyBa]

Вы несколько небрежно написали, как мне кажется. В каком случае вы пренебрегаете, в каком нет - в первом или во втором?
Авторы не пренебрегают

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1370171 писал(а):

Расписываю как в первом случае.

$${\mathcal{E}_{ind}} = - \frac{{d{\Phi _{{\text{соб}}}}}}{{dt}} - \frac{{d{\Phi _{{\text{внеш}}}}}}{{dt}}$$

Вот откуда вы взяли эту формулу?

[Rusit8800]

AnatolyBa в сообщении #1370178 писал(а):

Вы несколько небрежно написали, как мне кажется. В каком случае вы пренебрегаете, в каком нет - в первом или во втором?

Написал действительно небрежно. Так получилось, что в первом случае я, как думается, не пренебрег(или же записал просто неверно, с чем сейчас пытаюсь разобраться).

Munin в сообщении #1370183 писал(а):

Вот откуда вы взяли эту формулу?

ЗФТШ, 4 задание по физике. Там написано:
"Пусть произвольный контур с током находится во внешнем магнитном поле. Из принципа суперпозиции магнитных полей и определения магнитного потока
следует, что полный магнитный поток $\[\Phi \]$, пронизывающий контур, состоит из потока от внешнего поля $\[{{\Phi _{{\text{внеш}}}}}\]$ и потока от собственного поля $\[{{\Phi _{{\text{соб}}}}}\]$ : $\Phi= \Phi _{{\text{внеш}}}+\Phi _{{\text{соб}}}$
При этом внешний магнитный поток $\[{{\Phi _{{\text{внеш}}}}}\]$ может изменяться со временем как из-за изменения внешнего магнитного поля во времени (в каждой точке поля индукция внешнего магнитного поля зависит от времени), так и из-за движения контура или отдельных его частей. Собственный магнитный поток $\[{{\Phi _{{\text{соб}}}}}\]$ может тоже меняться со временем в результате изменения тока в контуре по каким-либо причинам и в результате изменения индуктивности контура (при его деформации,например)."

Ключевая фраза "Собственный магнитный поток $\[{{\Phi _{{\text{соб}}}}}\]$ может тоже меняться со временем в результате изменения тока в контуре по каким-либо причинам". В данном случае этой причиной, как мне показалось, является появление индукционного тока в результате изменения внешнего поля. То есть изменение $\[{{\Phi _{{\text{внеш}}}}}\]$ повлияло на изменение $\[{{\Phi _{{\text{соб}}}}}\]$ - вот что я понял из выдержки. Однако если индуктивность контура мала, что изменением $\[{{\Phi _{{\text{соб}}}}}\]$ можно принебречь.

-- 20.01.2019, 18:09 --

Там есть еще выдержка
"Затронем часто встречающийся при решении задач вопрос о том, пренебрегать или нет индуктивностью контура. Этот вопрос в каждом конкретном случае должен решаться отдельно на основании вклада, даваемого в общую ЭДС каждым слагаемым в формуле $\[{\mathcal{E}_{ind}} = - \frac{{d{\Phi _{{\text{соб}}}}}}{{dt}} - \frac{{d{\Phi _{{\text{внеш}}}}}}{{dt}}\]$. Чаще всего индуктивностью контура в виде одного
витка или рамки, состоящей из малого числа витков, можно пренебречь. А вот индуктивностью контура, состоящего из значительного числа витков, например
катушки, пренебрегать не стоит. Одним из критериев для оценки роли индуктивности может служить сравнение величин внешнего магнитного поля и собственного поля контура, а точнее, сравнение изменений величин этих полей за время наблюдения."
Отсюда я предположил, что авторы задачи пренебрегли индуктивностью, что мне показалось странным, так как индуктивностью соленоида не должны пренебрегать (иначе какую роль должен выполнять дроссель в схеме? ) - это и написано в последней выдержке.

[Munin]

Собственный поток, конечно, меняется. Я про другое спрашиваю: почему вы его изменение включаете в ЭДС? Это непонимание физики индукции.

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1370194 писал(а):

Это непонимание физики индукции.

Но ведь я сделал так, как было написано в ЗФТШ - написал формулу

Rusit8800 в сообщении #1370191 писал(а):

$\[{\mathcal{E}_{ind}} = - \frac{{d{\Phi _{{\text{соб}}}}}}{{dt}} - \frac{{d{\Phi _{{\text{внеш}}}}}}{{dt}}\]$

Вот что в ЗФТШ еще написано:
"Слагаемое

$$\[{\mathcal{E}_{{\text{сам}}} = - \frac{{d{\Phi _{{\text{соб}}}}}}{{dt}} = - \frac{{d({L}{I})}}{{dt}}\]$$

называется ЭДС самоиндукции, т. к. оно появляется благодаря изменению во времени собственного магнитного потока через контур. Напомним, что изменение собственного магнитного потока может происходить как за счёт изменения тока (по каким-либо причинам), так и за счёт изменения индуктивности контура."
То есть вводят отдельную величину, связанную с изменением собственного потока, которая дает вклад в общее ЭДС.
Слишком много "намеков", что контур может оказывать влияние сам на себя. В кавычках пишу, потому что в ЗФТШ это написано слишком прямо, чтобы называться намеком.

[AnatolyBa]

А справа у вас что в законе Кирхгофа?

[Rusit8800]

AnatolyBa в сообщении #1370201 писал(а):

А справа у вас что в законе Кирхгофа?

Сумма разностей потенциалов на катушках. Про то, как записать 2 правило Кирхгофа для индуктивностей, я посмотрел в "Высшей математике" Зельдовича, глава 10 кажется. "$+$" ставится ,если направление обхода совпадает с направлением выбранного положительного тока, иначе ставится "$-$". В нашем случае везде стоят плюсы.

[AnatolyBa]

Вы формально применяете правила. Подумайте о физическом смысле происходящего. Попробуйте решить задачу если вместо второй индуктивности просто закоротка.

[Rusit8800]

AnatolyBa в сообщении #1370204 писал(а):

Попробуйте решить задачу если вместо второй индуктивности просто закоротка.

То же самое, что $L_2=0$. С физическим смыслом я, конечно, разбирался. И с математическим тоже. Я даже тему подобную уже создавал на этом форуме.

[AnatolyBa]

Или иначе, давайте без законов Кирхгофа, кажется это мешает. Чему равно напряжение на первой катушке? На второй катушке?

-- 20.01.2019, 18:48 --

Rusit8800 в сообщении #1370208 писал(а):

То же самое, что $L_2=0$.

Я не прошу подставить $L_2=0$ в одну из ваших формул. Решите с нуля и посмотрите какой из формул это соответствует

-- 20.01.2019, 19:16 --

(Оффтоп)

Rusit8800 в сообщении #1370208 писал(а):

С физическим смыслом я, конечно, разбирался. И с математическим тоже. Я даже тему подобную уже создавал на этом форуме.

Посмотрел ваши темы. На общие рассуждения не реагирую, не люблю.
Вы позиционируете себя как человека с математическим складом ума, но решаете вступительные задачи для МФТИ. С какой целью, практической?
Если так, то "Si vivis Romae, romano vivito more". Голова молодая, учитесь. На конкретных задачах, что в общем вы и делаете, и это правильно. Не зацикливайтесь, что вы математик, рано.

[Rusit8800]

AnatolyBa в сообщении #1370210 писал(а):

Или иначе, давайте без законов Кирхгофа, кажется это мешает. Чему равно напряжение на первой катушке? На второй катушке?

AnatolyBa в сообщении #1370210 писал(а):

Посмотрел ваши темы.

В последней теме я писал, что не имею возможности часто посещать форум, поэтому времени мне хватает только на самое важное, к сожалению. Сейчас самое важное - несостыковки в формуле $\Phi= \Phi _{{\text{внеш}}}+\Phi _{{\text{соб}}}$ - именно она является источником проблем, но не запись правил Кирхгофа.

AnatolyBa в сообщении #1370210 писал(а):

С какой целью, практической?

Мне жизненно необходимо получение БВИ в МФТИ, для этого нужно решить олимпиаду Физтех по физике почти идеально: в 2017 году - 43/50, в 2018 - 44/50. Для победы же на математике нужно по баллам набрать чуть больше 70% по статистике 2017 и 18 годов (это сделать весьма непросто из-за огромной вероятности ошибиться где-нибудь, чего только стоят задания по комбинаторике). Чтобы сделать все шикарно, я отрабатываю большое число вариантов прошлых лет.

AnatolyBa в сообщении #1370210 писал(а):

Не зацикливайтесь, что вы математик, рано.

Пока я особо не зацикливаюсь - времени нет.

[StaticZero]

(Оффтоп)

Rusit8800 в сообщении #1370225 писал(а):

из-за огромной вероятности ошибиться где-нибудь, чего только стоят задания по комбинаторике

Вы даже можете подсчитать эту вероятность. Пусть в формуле $n$ знаков. Рассмотрим количество способов ошибиться........................

[Rusit8800]

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1370238 писал(а):

Вы даже можете подсчитать эту вероятность. Пусть в формуле $n$ знаков. Рассмотрим количество способов ошибиться........................

Если учесть, что я не такой уж и осел в комбинаторике, то расчеты несколько усложнятся...

[StaticZero]

(Оффтоп)

Rusit8800 в сообщении #1370245 писал(а):

расчеты несколько усложнятся...

Главное не ошибиться