Может ли каждая из диагоналей выпуклого пятиугольника...

[Ktina]

Может ли каждая из диагоналей выпуклого пятиугольника быть меньше противоположной стороны?

[slavav]

Думаю что не может.
Доказать пока не смог.
Если все диагонали короче соответствующих сторон, то замкнутый маршрут "звёздочка" короче маршрута по сторонам пятиугольника. Я верю что маршрут по сторонам должен быть кратчайшим среди всех циклов посещающих все вершины, но доказать пока не смог.

[mihiv]

slavav
Вы уже, собственно, все доказали. Если $\sum a_i$- сумма сторон пятиугольника, $P$- периметр звездочки, $\sum d_i$- сумма диагоналей, то $\sum a_i<P<\sum d_i$. Если теперь каждая из диагоналей меньше противоположной стороны, получим противоречие с полученным неравенством.

[slavav]

Вы правы, я не сумел сделать последний шаг - ввести периметр звёздочки. Спасибо!

[Ktina]

slavav
mihiv
Большое спасибо!