трудно для меня

[daogiauvang]

Докажите что если функция $f(x)$непрерывно дифференцируема на $R$ и для любой арифметической прогрессии $a,b,c,d$выполняется неравенство :
$ |f(d)-f(a)| \geq \pi |f(c)-f(b)|$
то $f$ -постоянная функция.

Добавлено спустя 4 минуты 14 секунд:

Задача 2:
Пусть $f$удовлетворяет условиям:
$f(0)=f(1)=0$ и $f''(x)>f(x)+f'(x))$ для всех $x \in [0,1]$
докажите, что $f(x)<0$ для всех $x \in (0,1)$
sorry i cut it,

[Brukvalub]

daogiauvang в сообщении #136939 писал(а):

Докажите что если функция $f(x)$непрерывно дифференцируема на $R$ и для любой арифметической прогрессии $a,b,c,d$выполняется неравенство :
$ |f(d)-f(a)| \geq \pi |f(c)-f(b)|$
то $f$ -постоянная функция.

Воспользуйтесь теоремой Лагранжа о конечных приращениях и предельным переходом в неравенствах.

Добавлено спустя 8 минут 13 секунд:

daogiauvang в сообщении #136939 писал(а):

Пусть $f$удовлетворяет условиям:
$f(0)=f(1)=0$ и $f''(x)>f(x)+f'(x))$ для всех $x \in [0,1]$
докажите, что $f(x)<0$ для всех $x \in [0,1]$

Условие задачи противоречит ее заключению.

[ewert]

daogiauvang писал(а):

Задача 2:
Пусть $f$удовлетворяет условиям:
$f(0)=f(1)=0$ и $f''(x)>f(x)+f'(x))$ для всех $x \in [0,1]$
докажите, что $f(x)<0$ для всех $x \in [0,1]$

Предположите обратное -- что в некоторой внутренней точке $c\in(0;\;1)$ выполняется $f(c)\geqslant0$ и $f'(c)=0$.

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

Brukvalub писал(а):

daogiauvang в сообщении #136939 писал(а):

для всех $x \in [0,1]$

Условие задачи противоречит ее заключению.

ну а придираться-то зачем

[Brukvalub]

ewert в сообщении #136946 писал(а):

ну а придираться-то зачем

Не придираться, а воспитывать аккуратность в формулировках - важнейшее для математика качество (впрочем, как видно, не все это понимают )

[ewert]

И ещё по поводу 2-й задачи. Как доказать аналогичное утверждение, если чуть ослабить требования: $f(0)=f(1)=0$ и $f''(x)\geqslant f(x)+f'(x)\ \ (\forall\; x \in (0,1))\;$?

[Henrylee]

ewert писал(а):

И ещё по поводу 2-й задачи. Как доказать аналогичное утверждение, если чуть ослабить требования: $f(0)=f(1)=0$ и $f''(x)\geqslant f(x)+f'(x)\ \ (\forall\; x \in (0,1))\;$?

Никак. Тогда в условие пролезает нулевая константа.

[ewert]

что значит пролезает, тогда функция или тождественный ноль -- или как раньше

[Henrylee]

ewert писал(а):

что значит пролезает, тогда функция или тождественный ноль -- или как раньше

Ну я о том же. Что не получится доказать строгое $<0$.

[ewert]

Ну всё же если не тождественный ноль, то именно строго больше нуля.

Я к чему: этот факт немного более тонкий, чем при строгом ограничении на вторую производную. Т.е. таким вульгарным приёмом не доказывается, надо малость повозиться с интегралами. Мне так кажется.