Внедрение времени в интеграл по фазовому пространству

[artfin]

Добрый день, интересует литература по следующей тематике:
Рассмотрим гамильтонову систему, для простоты, с одной координатой $q$ и сопряженной к ней импульсом $p$. Пусть на фазовом пространстве определена некая функция $f(p,q): \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Будем рассматривать функцию, заданную следующим интегралом (в конечном итоге вопрос относится к корреляционным функциям, но, чтобы не усложнять текст несущественными, как мне кажется, деталями, представим функцию в таком виде)

$$ \begin{equation} C(t) = \int f(q_0, p_0) \cdot f(q(t), p(t)) dq_0 \,dp_0, \end{equation} $$

где $q(t)$, $p(t)$ лежат на Гамильтоновой траектории, начинающейся в точке $q_0$, $p_0$, то есть являются решениями уравнений Гамильтона

$$ \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} $$

c начальными условиями $(q_0, p_0)$.
Предположим, что значение координаты $q = Q_0$ может быть выбрано таким образом, что все фазовые траектории, которые перечисляются в интеграле (1), проходят через прямую $q = Q_0$ на фазовой плоскости. В таком случае осуществим замену переменных $(q, p) \rightarrow (\tau, \tilde{p})$. Физической смысл этой замены переменных заключается в том, что мы "сдвигаем" точку отсчета классической траектории из точки $q_0, p_0$ в точку $Q_0, \tilde{p}$. Переменная $\tau$ отсчитывает нам время, за которое траектория преодолеет расстояние от сечения $q = Q_0$ до $q = q_0$. Переменные связаны следующим образом

$$ \begin{equation} Q_0 = q_0 + \int_0^\tau \frac{\partial H}{\partial p} dt , \quad \tilde{p} = p_0 - \int_0^\tau \frac{\partial H}{\partial q} dt. \notag \end{equation} $$

Найдем якобиан замены переменных, для этого перепишем эти уравнения в дифференциалах

$$ \begin{equation} 0 = dq_0 + \frac{\partial H}{\partial p}(\tau) d\tau, \quad d\tilde{p} = dp_0 - \frac{\partial H}{\partial q}(\tau) d\tau. \notag \end{equation} \begin{equation} J = \frac{\partial (\tau, \tilde{p})}{\partial (q, p)} = \begin{vmatrix} -\frac{\partial H}{\partial p}(\tau) & \frac{\partial H}{\partial q}(\tau) \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \frac{\partial H}{\partial p}(\tau) \notag \end{equation} $$

То есть, в "усреднение" функции по фазовому пространству мы эффективно ввели время. Посоветуйте, пожалуйста, литературу по поводу похожих интегральных преобразований.

[artfin]

А можно попросить перенести тему из "Дикуссионные темы (Ф)" в "Помогите решить / разобраться (Ф)"? Может быть там кто-нибудь сможет подсказать?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: см. выше.
Хотя - на будущее - для подобного существует механизм жалоб (кнопка с восклицательным знаком снизу от сообщения).

[Ben]

Так, если известно поведение фазовых траекторий, мы фиксируем произвольный момент времени, "отматываем" с помощью якобиана фазовую картинку хоть вперед, хоть назад по времени и там интегрируем по (p,q). Вроде, никаких противоречий. Или я чего не понял?

[artfin]

Ben, да, мысль именно в этом. Ищу литературу, потому что возникают сомнения в том, что все фазовые траектории могут быть таким образом перечислены. Было подозрение, что такие преобразования являются частным случаем каких-то более сложных преобразований, осуществимых в фазовом пространстве.

[Ben]

Скорее всего, Вы их знаете:
А. Лихтенберг Динамика частиц в фазовом пространстве. М. Атомиздат, 1972
Ну и все остальное по динамическим системам, типа
Г.М. Заславский, Р.З.Сагдеев Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса.