Измеримые и открытые множества

[rishelie]

Известна теорема Каратеодори о том, что меру можно единственным способом продлить с алгебры (кольца) множеств на минимальную сигма-алгебру (содержащую данную алгебру).

Существуют ли какие-то ослабления этой теоремы, например, позволяющие задать меру только на базе топологии (имеется ввиду счетная база), но при этом чтобы мера продолжалась единственным способом на борелевскую сигма-алгебру?

Вроде бы довольно простым способом кажется такой путь. Пусть $B_0,B_1,\dots$ --- счетный набор попарно различных множеств, образующих базу топологии пространства $X$. Для произвольной функции $\delta:{\mathbb N}\to\{0,1\}$ определим множество:

$$ (1)\qquad B(\delta) = B_0^{\delta(0)}B_1^{\delta(1)}\dots, $$

где $B^1=B$ и $B^0=X\setminus B$.
Эти множества попарно не пересекаются (при разных функциях $\delta$), а все возможные не более чем счетные их объединения образуют сигма-алгебру, порожденную $\{B_k\}$. Если в (1) обрывать произведение на каком-то номере $n$, то такие штуки позволят собрать алгебру множеств (все возможные конечные объединения таких множеств).

Предполагая, что на $\{B_k\}$ задана неотрицательная вещественная функция $\mu$, инвариантная относительно дизъюнктного разбиения, мы можем:

а) определить $\mu(B_k\setminus B_j)=\mu(B_k)-\mu(B_kB_j)$ (т.к. пересечение множеств базы принадлежит базе)

б) определить $\mu(B_k\cup B_j\cup\dots)$ для конечных объединений элементов базы, использую формулу включений-исключений

в) определить $\mu(B_0^{\delta(0)}B_1^{\delta(1)}\dots B_n^{\delta(n)})$ для начальных отрезков $B(\delta)$, поскольку множество $B_0^{\delta(0)}B_1^{\delta(1)}\dots B_n^{\delta(n)}$ можно представить как разность $A\setminus(A_1A\cup\dots\cup A_kA)$, где $A,A_1,\dots,A_k$ --- элементы базы топологии, т.е. какие-то из множеств $B_k$.

г) определить $\mu(B(\delta)) = \lim\limits_{n\to\infty}\mu(B_0^{\delta(0)}B_1^{\delta(1)}\dots B_n^{\delta(n)})$, откуда мера конечных и счетных сумм множеств вида $B(\delta)$ определяется как сумма мер этих множеств.

Пример: задаем меру открытых интервалов $(a;b)$ ($a,b\in \mathbb Q$) на прямой (например, как $b-a$ или как количество целых чисел внутри этого интервала), а далее однозначно задаем меру на борелевской сигма-алгебре по правилам а)--г).

Где тут может быть "косяк"?

PS. "инвариантная относительно дизъюнктного разбиения" - это значит, что если множество базы допускает несколько различных разбиений на другие множества базы, то сумма мер на них получается одна и та же.

[mihaild]

rishelie в сообщении #1369245 писал(а):

пересечение множеств базы принадлежит базе

Пересечение множеств базы представимо в виде объединения элементов базы, но не обязано само ей принадлежать.

[rishelie]

А, точно.. Т.е. если от базы требовать, чтобы она свои конечные пересечения содержала, то вроде не обязательно мучиться с задаванием меры на некоторой алгебре?

[mihaild]

Всё равно плохо. Дизъюнктное объединение открытых интервалов не бывает открытым интервалом. Значит можно взять базу из открытых интервалов, назначить каждому интервалу произвольное число и получится инвариантная относительно дизъюнктного разбиения функция. Сомнительно, что из этого получится что-то хорошее.
Собственно сломается пункт а: мера разности двух элементов базы может зависеть от того, какие именно элементы базы мы берем.

-- 17.01.2019, 12:26 --

Конкретный пример: $\mu((0; 1)) = 1$, $\mu((0; \frac{1}{2})) = \frac{1}{2}$, $\mu((\frac{1}{3}; 1)) = \frac{1}{2}$, $\mu((\frac{1}{3}; \frac{1}{2})) = \frac{1}{4}$. Чему равна $\mu((\frac{1}{2}; 1))$?

[rishelie]

Да, и правда, печально.
Видимо потому и не нашел ничего интересного в литературе о том как конструктивно задать меру для борелевских множеств.