Рекурсивная функция и сходимость

[Alik]

Цитата:

функция организована так, что нулевые строки просто удаляются

Еще одна вещь, которую забыл сказать - это то, что нулевой строке однозначно соответствует нулевой столбец, он тоже удаляется. Другими словами проблем с решением не возникает, возникают проблемы с доказательством сходимости.

[Бодигрим]

Цитата:

Еще одна вещь, которую забыл сказать - это то, что нулевой строке однозначно соответствует нулевой столбец, он тоже удаляется. Другими словами проблем с решением не возникает, возникают проблемы с доказательством сходимости.

Простите, но я начинаю терять вашу мысль: что чему и при каких действиях соответствует. О какой функции идет речь? Вы не могли бы привести результаты ваших вычислений: матрицы $A$ и $A^{-1}$?

[Alik]

Есть рекурсивная зависимость

\[ \begin{gathered} \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & {a_1 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & {a_3 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & {a_4 } \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 1} } \\ {x_2^{i + 1} } \\ {x_3^{i + 1} } \\ {x_4^{i + 1} } \\ {x_5^{i + 1} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^i } \\ {x_2^i } \\ {x_3^i } \\ {x_4^i } \\ 1 \\ \end{array} } \right] \\ \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & { - a_1 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & {a_3 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & {a_4 } \\ 1 & 0 & { - 1} & { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 2} } \\ {x_2^{i + 2} } \\ {x_3^{i + 2} } \\ {x_4^{i + 2} } \\ {x_5^{i + 2} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 1} } \\ {x_2^{i + 1} } \\ {x_3^{i + 1} } \\ {x_4^{i + 1} } \\ 0 \\ \end{array} } \right] \\ \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & {a_1 } \\ 0 & 1 & 0 & 0 & {a_2 } \\ 0 & 0 & 1 & 0 & { - a_3 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & {a_4 } \\ 1 & 1 & { - 1} & 1 & 0 \\ \end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 3} } \\ {x_2^{i + 3} } \\ {x_3^{i + 3} } \\ {x_4^{i + 3} } \\ {x_5^{i + 3} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 2} } \\ {x_2^{i + 2} } \\ {x_3^{i + 2} } \\ {x_4^{i + 2} } \\ 1 \\ \end{array} } \right] \\ \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & { - a_1 } \\ 0 & 1 & 0 & 0 & {a_2 } \\ 0 & 0 & 1 & 0 & { - a_3 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & {a_4 } \\ 1 & { - 1} & 1 & { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 4} } \\ {x_2^{i + 4} } \\ {x_3^{i + 4} } \\ {x_4^{i + 4} } \\ {x_5^{i + 4} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 3} } \\ {x_2^{i + 3} } \\ {x_3^{i + 3} } \\ {x_4^{i + 3} } \\ 0 \\ \end{array} } \right] \\ \left[ {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & { - a_2 } \\ 0 & 0 & 1 & 0 & { - a_3 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & {a_4 } \\ 0 & 1 & 1 & { - 1} & 0 \\ \end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 5} } \\ {x_2^{i + 5} } \\ {x_3^{i + 5} } \\ {x_4^{i + 5} } \\ {x_5^{i + 5} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 4} } \\ {x_2^{i + 4} } \\ {x_3^{i + 4} } \\ {x_4^{i + 4} } \\ 0 \\ \end{array} } \right] \\ {\text{and so forth with period = 5}} \\ \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 & {a_1 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & {a_3 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & {a_4 } \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} } \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 6} } \\ {x_2^{i + 6} } \\ {x_3^{i + 6} } \\ {x_4^{i + 6} } \\ {x_5^{i + 6} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1^{i + 5} } \\ {x_2^{i + 5} } \\ {x_3^{i + 5} } \\ {x_4^{i + 5} } \\ 1 \\ \end{array} } \right] \\ \end{gathered} \]

где $x_1,...,x_5 - переменные, в то время как $a_1,...,a_4 просто коэффициенты.
В функции MATLAB для решения системы уравнений на каждой итерации используется $X=A\backslash{B},
если есть нулевая строка и нулевой столбец, они исключаются.
Положим начальные значения переменных $x_1,...,x_5 ноль, коэффициенты $a_1,...,a_4 равны $10^6.
Через несколько сот итераций:

\[ \left[ \begin{gathered} x_1 \hfill \\ x_2 \hfill \\ x_3 \hfill \\ x_4 \hfill \\ x_5 \hfill \\ \end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered} {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} \hfill \\ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4} \hfill \\ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 8} \hfill \\ {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 8}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 8} \hfill \\ {}_{}0 \hfill \\ \end{gathered} \right] \]

Вычисления показывают, что сходимость к указанным величинам не зависит от выбора коэффициентов $a_1,...,a_4,
от них зависит только темп сходимости. Как это доказать аналитически?