теорема

[math84]

В монографии Ингама "Распределение простых чисел" на стр. 17 приводиться теорема о том, что ряд

$$\sum\limits_{p}\frac{1}{p}$$

(по простым, я так понимаю, хотя это несколько непривычно) и произведение

$$\prod\limits_{p\leqslant x}(1-\frac{1}{p})^{-1}$$

расходятся.
Не могу перейти от

$$-\ln(1-u)-u<\frac{1}{2}\frac{u^{2}}{1-u}$$

к

$$\ln P(x)-S(x)<\sum\limits_{p\leqslant x}\frac{p^{-2}}{2(1-p^{-1})}$$

в правой части подстановка

$$ u=p^{-1} $$

а переход к суммам как?
спасибо.

[kotenok gav]

math84 в сообщении #1368247 писал(а):

а переход к суммам как?

Суммированием по простым, меньшим x.

[math84]

Меня интересует как из $-\ln(1-u)-u$ получить $\ln P(x)-S(x)$

[kotenok gav]

Суммированием по простым, меньшим x.

[math84]

а по подробней. Что с минусом делать? Как делать подстановку в левой части?

[Lia]

math84
Включите проверку орфографии. Народ нервничает.

[kotenok gav]

math84 в сообщении #1368391 писал(а):

Что с минусом делать?

Заносить в логарифм.

math84 в сообщении #1368391 писал(а):

Как делать подстановку в левой части?

Заменить $u$ на $p^{-1}$.

[math84]

Я понял. Требуется доказать что ряд $S(x)=\sum\limits_{p}^{}\frac{1}{p}$ и ряд $P(x)=\prod\limits_{p}^{}=(1-\frac{1}{p})^{-1}$ расходятся. Сначала показываем, что $P(x)>\ln x $ далее берём неравенства $-\ln(1-u)-u<\frac{1}{2}\frac{u^{2}}{1-u}$ и делаем в нем подстановку $u = \frac{1}{p}$ получаем $-\ln(1-\frac{1}{p})-\frac{1}{p}<\frac{1}{2}\frac{p^{-2}}{1-p^{-1}}$ получаем $\ln(1-\frac{1}{p})^{-1}-\frac{1}{p}<\frac{1}{2}\frac{p^{-2}}{1-p^{-1}}$, далее подставляя в это неравенство $P(x)$ и $S(x)$ оцениваем разность $\ln P(x)$ и $S(x)$. $\ln P(x)-S(x)<\sum\limits_{p\leqslant x}^{}\frac{1}{2}\frac{p^{-2}}{1-p^{-1}}$. $P(x)=\ln x $, а значит при x стремящемся к бесконечности $P(x)$ тоже стремиться к бесконечности. Поскольку разность $P(x)$ и $S(x)$ - конечна, то при x стремящемся к бесконечности $S(x)$ стремиться к бесконечности. Подскажите пожалуйста еще один момент как доказать что \sum\limits_{p\leqslant x}^{}\frac{1}{2}\frac{p^{-2}}{1-p^{-1}}$ меньше \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2n(n-1)}$.

[math_34]

Я сегодня понял как доказать что $\sum\limits_{p\leqslant x}^{}\frac{1}{2}\frac{p^{-2}}{1-p^{-1}}$ меньше \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2n(n-1)}$. спасибо.