Помогите подобрать пример расходящейся последовательности

[Arastas]

Добрый день!
Пусть $\{a_k\}$ это последовательность положительных числел, таких что $a_k \to 0$ при $k\to\infty$. Определим

$$ \Delta(p) = \sum_{k=1}^{p} a_k e^{-\left(p-k+1\right)} $$

и

$$ S(n) = \sum_{p=1}^{n} \Delta(p). $$

На сколько я понимаю, $\Delta(p)\to 0$ при $p\to\infty$. Помогите, пожалуйста, подобрать такой пример, что $S(n)\to \infty$ при $n\to\infty$.

Кажется, должно работать что-то вроде $a_k=\frac{1}{\sqrt{k}}$, но как доказать пока непонятно.

[Someone]

Что такое $\inf$? Если имеется в виду "$\infty$", то она \infty.

А Вы не пробовали выписать выражение для $S(n)$, подставив первую сумму во вторую, и помедитировать над результатом? Попробовать его преобразовать как-нибудь…

[Arastas]

Someone в сообщении #1368121 писал(а):

Что такое $\inf$? Если имеется в виду "$\infty$", то она \infty.

Ой. Поправил.

Пробовал, смотрел, но пока не особо продуктивно.

[Someone]

Ну так покажите, как пробовали и что получилось. (Вообще, правила форума следует читать. В особенности пункты, относящиеся к разделу "Помогите решить / разобраться".)

[Arastas]

Так я же говорю, не получилось ничего осмысленного. У меня замылен глаз тем, откуда пришла эта задача. Нестрого говоря, последовательность $a_k$ это оценка снизу некоторого сигнала, а $\Delta$ это оценка снизу результата применения некоторого оператора к этому сигналу. Вопрос в том, будет ли результат применения оператора неинтегрируем. Путём преобразований исходную задачу удалось свести к той, что в ноачале темы, но дальше дело не идет. Интуитивно кажется, что суммирование $\Delta$ будет расходиться если суммирование $a_k$ расходится.

[mihaild]

Выразите явно $S(n)$ через $a_k$, это чисто механическая операция.

[Arastas]

mihaild в сообщении #1368152 писал(а):

Выразите явно $S(n)$ через $a_k$, это чисто механическая операция.

Всё, увидел. Спасибо.

[Arastas]

А что будет, если переопередлить $S(n)$ как

$$S(n)=\sum_{p=1}^{n}\Delta^2(p).$$

Там при подстановке появятся кросс-члены от перемножения $\alpha_k$ с разными индексами, и красиво уже не получается. Интуитивно, хочется предположить если сумма $a_k^2$ раходится, то и сумма $\Delta^2$ будет расходиться. Нет ли тут каких-то общих соотношений?