Частица в потенциальном поле

[pogulyat_vyshel]

Все векторы лежат на плоскости $\mathbb{R}^2$ со стандартным скалярным произведением. Вектор $\boldsymbol r_0\ne 0$ -- задан.
Доказать, что при всяком $n\ge 2$ и всяком $m\in\mathbb{N}$ система с лагранжианом

$$L(\boldsymbol r,\boldsymbol {\dot r})=\frac{1}{2}|\boldsymbol {\dot r}|^2+\frac{1}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r_0|^n}+\frac{1}{|\boldsymbol r+\boldsymbol r_0|^n}$$

имеет периодическое решение, траектория которого сначала обходит $m$ раз по часовой стрелке точку $ \boldsymbol r_0$, а потом столько же раз обходит против часовой стрелки точку $- \boldsymbol r_0$.

Замечание. При $n=1$ система интегрируема.

[StaticZero]

Была идея комплексифицировать плоскость и попытаться показать, что если выполняется уравнение Лагранжа для $z(t)$, то можно как-то увидеть, что интегралы $\frac{1}{2i \pi} \oint \limits_C \frac{\mathrm d z}{z\pm z_0}$ могут иметь любые целые значения, но такие, что значение "для плюса", сложенное со значением "для минуса", даст всегда ноль. Это путь в никуда?