2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Частица в потенциальном поле
Сообщение11.01.2019, 16:38 
Аватара пользователя


31/08/17
1366
Все векторы лежат на плоскости $\mathbb{R}^2$ со стандартным скалярным произведением. Вектор $\boldsymbol r_0\ne 0$ -- задан.
Доказать, что при всяком $n\ge 2$ и всяком $m\in\mathbb{N}$ система с лагранжианом
$$L(\boldsymbol r,\boldsymbol {\dot r})=\frac{1}{2}|\boldsymbol {\dot r}|^2+\frac{1}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r_0|^n}+\frac{1}{|\boldsymbol r+\boldsymbol r_0|^n}$$
имеет периодическое решение, траектория которого сначала обходит $m$ раз по часовой стрелке точку $ \boldsymbol r_0$, а потом столько же раз обходит против часовой стрелки точку $- \boldsymbol r_0$.

Замечание. При $n=1$ система интегрируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в потенциальном поле
Сообщение12.01.2019, 18:13 
Аватара пользователя


22/06/12
1381
Была идея комплексифицировать плоскость и попытаться показать, что если выполняется уравнение Лагранжа для $z(t)$, то можно как-то увидеть, что интегралы $\frac{1}{2i \pi} \oint \limits_C \frac{\mathrm d z}{z\pm z_0}$ могут иметь любые целые значения, но такие, что значение "для плюса", сложенное со значением "для минуса", даст всегда ноль. Это путь в никуда?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group