Доказать, что точки лежат на одной прямой.

[TelmanStud]

Доброго времени суток!

Подскажите идею в следующей задаче.
Пусть $z_1,z_2,...$ множество различных комплексных чисел таких, что $|z_i-z_j|=N_{ij}$, где $N_{ij}$ целые числа. Доказать, что $\{z_i\}$ лежат на одной прямой.

Спасибо заранее!

[Legioner93]

Условие непонятно! Точки $0$, $3$, $4i$ лежат на одной прямой?

[TelmanStud]

Legioner93
На комплексной плоскости нет.
Приведу исходное условие (на англ.)

Let $z_1,z_2,...$, be a countable set of distinct complex numbers. If $|z_j - z_k| $
is an integer for every $j, k$ (the integer may depend on $j$ and $k$), then
prove that the $\{z_j\}$ lie on a single straight line.

[Lia]

TelmanStud
Ну а зачем же Вы неточно перевели.

[TelmanStud]

Lia
Исправил.

[Lia]

TelmanStud
Не полностью.
Иначе приведенный выше пример годится.

[TelmanStud]

Lia
Вот именно! К сожалению мой англ. не дает возможности увидеть большего.

[Lia]

Текст спокойно переводится любым гуглопереводчиком. Вы пропустили слово "счетный" в нужном месте.

[TelmanStud]

Lia
Спс.

(Оффтоп)

Но вроде, любое подмножество счетного множества (включая конечное) тоже предполагается счетным. Исходя из этого не писал

[Lia]

TelmanStud
Вы исходите из того, что это последовательность, а значит, у нее счетное число элементов.
Текст - о другом. Пусть есть счетное множество различных чисел. Т.е. если переводить на язык последовательности, ее элементы различны.

[eugensk]

TelmanStud
Идея такая: если какие-то три точки образуют треугольник, то только конечное число точек может быть от них на целом расстоянии, а в условии их бесконечно много.
Вы потеряли (не отметили явно) бесконечность, и задача стала непонятной.

[Legioner93]

Кажется, если integer заменить на rational, то утверждение останется верным?

[eugensk]

Legioner93
Может $1+(a/b)^2 = (c/d)^2$ иметь бесконечно много решений в целых? Если да, например, то уже не будет верным.

[ИСН]

И может, и имеет. Возьмите любую пифагорову тройку, да поделите...

[eugensk]

хех, действительно :)

Так что, верно только для целых расстояний.