Расстояние от точки до прямой без координат

[maxim555]

Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Её боковое ребро равно $2$, основание - $1$. $E$ - середина $SA$. Как найти расстояние от $E$ до $BC$?



Я думал решать это так: провести перпендикуляр из $E$ на плоскость $ABCD$. У нас правильная пирамида, и аналогичный перпендикуляр из $S$ попадет в точку пересечения диагоналей. Судя по всему (построил в геогебре) перпендикуляр из $E$ тоже попадает на середину отрезка AF на диагонали. Далее мы из середины AF проводим перпендикуляр на $BC$, получаем треугольник (красный), он прямоугольный, из планиметрии можем найти две его стороны, отсюда находим расстояние.

Как доказать, что перпендикуляр из $E$ на плоскость попадет на диагональ?

[provincialka]

Можно, наоборот, взять прямую $EG$ и доказать, что она перпендикулярна основанию.
А какие вы знаете признаки перпендикудярности прямой и плоскости?

[maxim555]

provincialka в сообщении #1367843 писал(а):

Можно, наоборот, взять прямую $EG$ и доказать, что она перпендикулярна основанию.
А какие вы знаете признаки перпендикудярности прямой и плоскости?

В треугольнике $ASF$ $EG$ - средняя линия. Она параллельна $SF$, а$SF$ перпендикулярна основанию.

А как доказывать через признаки? Пока знаю только про две пересекающиеся прямые.

[provincialka]

Ну, вот это и есть доказательство. Если одна прямая перпендикулярна плоскости, то и параллельная ей -- тоже.

[teleglaz]

maxim555 в сообщении #1367835 писал(а):

Как доказать, что перпендикуляр из $E$ на плоскость попадет на диагональ?

Напишите, что $SF$ перпендикулярна плоскости $ABC$, потому что ... Следовательно, $SF$ -- перпендикуляр, $SA$ -- наклонная, а $AF$ -- проекция наклонной.

P.S. $BD$ тоже пунктирчиком надо бы .