производная сложной функции нескольких переменных

[eugbag]

Есть ряд задач для функции заданной неявно где аргументы - сами функции нескольких переменных, одна из которых зависима
Пример
Найти частные производные $z'_x, z'_y$ где $z=z(x,y)$ задана неявно
$F(x+y+z,2x^2-3y^2+4z^2)=0$
решение обозначим $u(x,y,z)=x+y+z$ $v(x,y,z)=2x^2-3y^2+4z^2$
Находим частные производные (cчитая z функцией $x,y$
$u'_x=1+z'_x$ $v'_x=4x+8z \cdot z'_x$
$0=F'_x=F'_u \cdot u'_x+F'_v \cdot v'_x=F'_u \cdot (1+z'_x)+F'_v \cdot (4x+8z \cdot z'_x)$
откуда $z'_x=-\frac{F'_u+4x \cdot F'_v}{F'_u+8z \cdot F'_v}$ (1)
так же находим и $z'_y$
Но вот если продифференцировать $F=0$ по z то
$u'_z=1$ $v'_z=8z$
$0=F'_z=F'_u \cdot u'_z+F'_v \cdot v'_z=F'_u +F'_v \cdot 8z$
Но тогда окажется что знаменатель в (1) равен нулю. Что не так?

[Otta]

eugbag в сообщении #1363928 писал(а):

Но тогда окажется что знаменатель в (1) равен нулю. Что не так?

Вы общую формулу помните? ведь помните. Напишите. Производная неявно заданной функции.

[eugbag]

$F(x,y)=0$ $y'=-\frac{F'_x}{F'_y}$

[Otta]

У $F$ две переменных, правда. Вы их только обозначили по-другому, посмотрите сами выше. А вот у композиции уже три (всего-то переменных три, да?). Так вот функцию $z=z(x,y)$ задает какое именно уравнение?

В общем, если Вы будете придерживаться тех обозначений, что у себя же наверху, будет немного легче.