Расстояние в L2

[hollo]

В $L^2[0,1]$ найти расстояние от $a$ до $M$
$a=t^2$
$M=\left\lbrace x \in L^2[0,1]: \int\limits_{0}^{1} x(t) dt = \int\limits_{0}^{1} tx(t) dt \right\rbrace$

Обозначим $a=x+h$, где $x \in M$, $h \in M^{ \perp}$
Правильно ли я понимаю, что $M^{ \perp}= \left\lbrace \beta t \vert \beta \in R \right\rbrace$?

[thething]

Во-первых, перепишите определение множества $M$ в виде только одного интеграла. Во-вторых, предположим, что Вы уже доказали, что $M^\perp$ одномерно. Теперь надо найти такой элемент $e(t)\ne 0$, что $(x,e)=0$, если $x\in M$. Распишите это скалярное произведение и найдите, чему может быть равно $e(t)$. Тогда и получите нужное $\beta e(t)$.

[hollo]

thething
$M=\left\lbrace x \in L^2[0,1]: \int\limits_{0}^{1} x(t)(1-t) dt = 0 \right\rbrace$

thething в сообщении #1367229 писал(а):

Теперь надо найти такой элемент $e(t)\ne 0$, что $(x,e)=0$, если $x\in M$. Распишите это скалярное произведение и найдите, чему может быть равно $e(t)$.

$\int\limits_{0}^{1} x(t)(1-t) e(t) dt = 0 $
Значит, что $e(t)$ это какие-то константы и $M^{ \perp}=\left\lbrace c \vert c \in R \right\rbrace$?

[thething]

hollo в сообщении #1367273 писал(а):

$\int\limits_{0}^{1} x(t)(1-t) e(t) dt = 0 $

Это по определению сейчас так скалярное произведение $(x,e)$ записывается?

[hollo]

thething в сообщении #1367351 писал(а):

Это по определению сейчас так скалярное произведение $(x,e)$ записывается?

Нет, в $L^2[0,1]$, как мне казалось, ортогональность - это когда $(x,e)=\int\limits_0^1x(x)e(x)dx=0$

Может быть $M^{ \perp}=\left\lbrace c(1-t) \vert c \in R \right\rbrace$?

[thething]

hollo в сообщении #1367377 писал(а):

Нет, в $L^2[0,1]$, как мне казалось, ортогональность - это когда $(x,e)=\int\limits_0^1x(x)e(x)dx=0$

Ну правильно казалось, чего ж пишете ерунду?

hollo в сообщении #1367377 писал(а):

Может быть $M^{ \perp}=\left\lbrace c(1-t) \vert c \in R \right\rbrace$?

Именно так. С небольшим уточнением (которое зависит от курса, поэтому необязательно). Поскольку для интеграла Лебега равные почти всюду функции неразличимы, то следует писать $e(t)=(1-t)$ почти всюду.

[hollo]

thething
Понял, спасибо!