Собственные функции

[StaticZero]

Придумал себе пример из головы. Пусть есть уравнение

$$ u = \lambda \int \limits_0^1 K(x, t) u(t) \ \mathrm dt, \quad K(x, t) = \begin{cases} x^2(t-1)^2, \quad &0 \leqslant x \leqslant t \leqslant 1 \\ t^2(x-1)^2, \quad &0 \leqslant t \leqslant x \leqslant 1 \end{cases} $$

и нужно найти собственные функции и характеристические числа. Имеем

$$ u = \lambda (x-1)^2 \int \limits_0^x \mathrm dt \ t^2 u(t) + \lambda x^2 \int \limits_x^1 \mathrm dt \ (t-1)^2 u(t) $$

$$ u' = 2 (x-1)\lambda \int \limits_0^x \mathrm dt \ t^2 u(t) + 2\lambda x \int \limits_x^1 \mathrm dt \ (t-1)^2 u(t) $$

$$\begin{align*} u'' &= 2 \lambda \int \limits_0^x \mathrm dt \ t^2 u(t) + 2\lambda \int \limits_x^1 \mathrm dt \ (t-1)^2 u(t) + 2 (x-1)\lambda x^2 u(x) - 2\lambda x(x-1)^2 u(x) =\\ &= 2 \lambda \int \limits_0^x \mathrm dt \ t^2 u(t) + 2\lambda \int \limits_x^1 \mathrm dt \ (t-1)^2 u(t) + 2\lambda u (x^2-x) \end{align*}$$

$$ u''' = 2 \lambda x^2 u - 2 \lambda (x-1)^2 u + 2 \lambda u'(x^2 - x) + 2 \lambda u (2x - 1) = 4 \lambda u(2x - 1) + 2 \lambda u' (x^2 - x) $$

Получаем краевую задачу

$$ u''' - 2 \lambda u' (x^2 - x) - 4 \lambda u (2x - 1) = 0, \quad u(0) = u(1) = 0, $$

которую не понятно, как решать (да скорее всего и не решится в замкнутом виде, если так - черт с ней).

Второй пример также от фонаря:

$$ u = \lambda \int \limits_0^1 \sin (xt) u(t) \ \mathrm dt $$

который тупым дифференцированием браться уже не хочет; получается что-то вроде

$$ u'' = \lambda K (-t^2 u), $$

где $K$ - интегральный оператор.

Собственно, прошу помощи. Есть ли способ в первой задаче обойти задачу третьего порядка? Можно ли во второй задаче вообще что-то сделать?

[thething]

В первом случае ж надо дифференцировать, как произведение (я имею ввиду самую первую производную $u'$). Третье дифференцирование не нужно, Вы можете выразить интегралы из первых двух уравнений, как из системы и подставить во вторую производную.

Во втором случае можно поискать характеристические числа, как нули определителя Фредгольма.

[StaticZero]

thething в сообщении #1366847 писал(а):

В первом случае ж надо дифференцировать, как произведение (я имею ввиду самую первую производную $u'$)

А там всё уничтожилось.

У меня получилось

$$ u'' + u' \frac{2x - 1}{x - x^2} - 2 u \frac{1 - \lambda (x - x^2)^2}{x - x^2} = 0, \quad u(0) = u(1) = 0 $$

[thething]

StaticZero в сообщении #1366867 писал(а):

А там всё уничтожилось.

Ааа, меня смутило, что вторая производная прям подробно расписана, а первая уже нет.
Сомнительно, что это как-то дальше решится, так бывает, когда придумываешь себе задачи самостоятельно)

[StaticZero]

Вторую бросаю, там совсем уж страх.

-- 08.01.2019 в 17:09 --

thething
спасибо за наводку!