Две задачки для школьников.

[ewert]

Коровьев писал(а):

ewert писал(а):

Правда, при условии, что сдвиги монотонны.

Разве гармонический ряд /сдвиги/ не принадлежит монотонной функции $x^-^1$.

Принадлежит. Пафос в том, что результат, верный для конечного к-ва элементов, не переносится на бесконечное.

[Батороев]

ewert писал(а):

Т.е. по такой лесенке действительно можно забраться сколь угодно далеко. Но, между прочим -- не бесконечно далеко! Если стопка состоит из бесконечного количества кирпичей, то они не смогут высунуться дальше чем на полкирпича относительно самого нижнего.

Я извиняюсь, но до этого абзаца все было понятно, а здесь запутался.

Во-первых, не понял, какие полкирпича Вы имеете в виду?
Во-вторых, вроде бы, сумма ряда $ \frac{1}{2}; \frac{1}{4} ; \frac{1}{6} ; \frac{1}{8} ; .... $ растет быстрее суммы ряда обратных величин простых чисел, о которых упоминает

Коровьев писал(а):

Вообще-то вместо обратного ряда натуральных чисел, можно взять обратный ряд простых чисел...

и бесконечность которой доказана Эйлером.
Поэтому не пойму, что мешает иметь бесконечное отклонение кирпичей?

[ewert]

Батороев писал(а):

Поэтому не пойму, что мешает иметь бесконечную стопку кирпичей?

Дело в том, что при переходе от $(n)$ кирпичей к $(n+1)$-му всю стопку приходится пересчитывать, и потому предельный переход не работает.

Ну а почему бесконечная и бесконечно далеко выдвигающаяся стопка фактически невозможна -- это отдельный вопрос, причём банальный.

[Батороев]

А зачем пересчитывать стопку?

Считаем, что стопка из $ (n) $ кирпичей - "устойчивая" конструкция (не фактически ).
Берем и укладываем ее на нижний $ (n+1) $-й кирпич со сдвигом $ \frac {1}{2n} $. При этом весь вес верхней стопки приложен в край нижнего кирпича.
Получаем новую "устойчивую" конструкцию.

Добавлено в 17-30 по Н-скому времени
Ой, чой-то, вроде, темнеет!
Убегаю затмение смотреть!

[ewert]

Батороев писал(а):

А зачем пересчитывать стопку?

Считаем, что стопка из $ (n) $ кирпичей - "устойчивая" конструкция (не фактически ).
Берем и укладываем ее на нижний $ (n+1) $-й кирпич со сдвигом $ \frac {1}{2n} $.

не понял, что значит "зачем"?... -- меняя $n$, мы автоматически меняем и ${1\over2n}$. А это, между прочим, начальный сдвиг.

[Коровьев]

Метода складывания кирпичей.
1. Кладётся первый кирпич.
2. Под него кладётся кирпич так чтобы центр тяжести первого кирпича приходился на край нижнего.
3. Под эту стопку кладётся кирпич так чтобы центр тяжести верхней стопки приходился на край нижнего.
Стопка не рухнет.
4. Под эту стопку кладётся кирпич так чтобы центр тяжести верхней стопки приходился на край нижнего.
Стопка не рухнет.
...
и т.д.
Можно выкладывать так до бесконечности, при этом, край верхнего кирпича уходит как угодно далеко от нижнего. Ибо смещения как раз и образуют "половину" расходящегося гармонического ряда.

[ewert]

Коровьев писал(а):

Метода складывания кирпичей.
1. Кладётся первый кирпич.
2. Под него кладётся кирпич так чтобы центр тяжести первого кирпича приходился на край нижнего.
3. Под эту стопку кладётся кирпич так чтобы центр тяжести верхней стопки приходился на край нижнего.
Стопка не рухнет.
4. Под эту стопку кладётся кирпич так чтобы центр тяжести верхней стопки приходился на край нижнего.
Стопка не рухнет.
...
и т.д.
Можно выкладывать так до бесконечности,

Да, совершенно верно. Но это означает лишь, что можно построить сколь угодно длинную цепочку. И вовсе не означает, что можно построить бесконечно длинную. Поскольку выстраивание последней начинается всё же снизу, а не сверху.

[worm2]

Я, кажется понял, что ewert имеет в виду. Нельзя так сместить график функции y = ln(x) вниз, чтобы значение на бесконечности равнялось бы нулю, а значение в точке 1 равнялось бы минус бесконечности. Хотя и можно сместить его так, чтобы значение в точке 1 было бы равно сколь угодно большому по модулю отрицательному числу.

[Батороев]

Прошу прощения за офф-топ, но впечатление от полного затмения солнца при параде планет - это зрелище, словами неописуемое!!!

ewert писал(а):

Да, совершенно верно. Но это означает лишь, что можно построить сколь угодно длинную цепочку. И вовсе не означает, что можно построить бесконечно длинную. Поскольку выстраивание последней начинается всё же снизу, а не сверху.

Я вас понимаю.
Вы утверждаете, что на данный конкретный нижний кирпич нельзя уложить бесконечную стопку. С этим я согласен.

Но Вы, по-моему, не учитываете того, что предела нижним кирпичам нет, т.е. под любую конкретную стопку мы можем "подсунуть" бесконечное кол-во кирпичей.

[ewert]

Батороев писал(а):

ewert писал(а):

Да, совершенно верно. Но это означает лишь, что можно построить сколь угодно длинную цепочку. И вовсе не означает, что можно построить бесконечно длинную. Поскольку выстраивание последней начинается всё же снизу, а не сверху.

Но Вы, по-моему, не учитываете того, что предела нижним кирпичам нет, т.е. под любую конкретную стопку мы можем "подсунуть" бесконечное кол-во кирпичей.

Ну что значит не учитываю, коли

ewert писал(а):

можно построить сколь угодно длинную цепочку.

Но вот "сколь угодно много кирпичей" и "бесконечное к-во кирпичей" -- вещи совершенно разные.

[Батороев]

ewert писал(а):

Батороев писал(а):

Но Вы, по-моему, не учитываете того, что предела нижним кирпичам нет, т.е. под любую конкретную стопку мы можем "подсунуть" бесконечное кол-во кирпичей.

Ну что значит не учитываю, коли

ewert писал(а):

можно построить сколь угодно длинную цепочку.

Но вот "сколь угодно много кирпичей" и "бесконечное к-во кирпичей" -- вещи совершенно разные.

Я знаю, что разные.
Потому и пытаюсь понять, почему нельзя построить бесконечно длинную цепочку?

Аргумент worm2'a о том, что нельзя построить график, как мне кажется, можно нивелировать тем аргументом, что не все математические графики могут быть отражением некоторой действительности (пусть и несколько нереальной).
В данном случае, мы как бы строим тот же график бесконечной функции (в форме стопки кирпичей), но с "плавающим" началом координат (вниз и влево по рис. 1 в сообщении Коровьева). А такого, как я понимаю, в математике не предусмотрено.

[ewert]

Батороев писал(а):

Потому и пытаюсь понять, почему нельзя построить бесконечно длинную цепочку?

Ну, это-то совсем деццкий факт. Если $\{a_k\}$ -- монотонно возрастающая последовательность сдвигов (абсолютных, не относительных) и $\mathop{\lim}\limits_{k\to\infty}a_k>{1\over2}$, то заведомо и $\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{1\over n}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k>{1\over2}$, т.е. стопка рано или поздно рухнет.

[Батороев]

А знаки поменяем на $ \leq $, тогда и не рухнет.

[ewert]

вот, именно ровно потому и ${1\over2}$

[Батороев]

А поэтому предлагаю ничью.