32p+1=n^3

[Ktina]

Решить уравнение

$$32p+1=n^3,\quad n\in\mathbb{Z}, p\in\mathbb{P}$$

[wrest]

$p=1123;n=33$

[Ktina]

wrest
Как нашли, если не секрет?

[wrest]

Ktina
Как обычно, PARI/GP:

? forprime(p=1,10^9,if(ispower(32*p+1,3,&n),print("$p=",p,";n=",n,"$");break))
$p=1123;n=33$
? ##
  ***   last result computed in 0 ms.
?

[Ktina]

wrest
Так неинтересно, там же доказательство есть, на уровне школьного маткружка.

[waxtep]

Возьмем $n=m+1$ и тогда $32p=m(m^2+3m+3)$; скобка в правой части всегда нечетна, значит, $m=32$ - наш единственный шанс

[wrest]

waxtep
Не понял, а зачем замена? Просто переносим единицу направо и там $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$ и вторая скобка нечётна, так что 32-м может быть равна только первая...

[waxtep]

wrest, не знаю, единичка слева почему-то замешкалась, а единичка справа в это время выступила добровольцем