Уравнение

[Edward_Tur]

$f(x)f(y) + f\left( {\frac{x}{y}} \right) + \frac{2}{x}f(y) = f(xy)$

[Руст]

Насколько помнится задача это из $Mathlinks$, кажется я там решил.
Подставляем $x=y=1$ и для $a=f(1)$ получаем $a(a+2)=0$. Подстановка $y=1$ исключает $a=-2$. Соответственно подстановка $x=1$ приводит
(1) $f(\frac 1y )+f(y)=0$.
Меняя местами x и y и вычитывая получаем линейное соотношение $f(\frac xy )+\frac 2x f(y)=f(\frac yx )+\frac 2y f(x)$. Или учитывая (1)
(2) $f(\frac yx )=\frac 1x f(y)-\frac 1y f(x).$ Из полусуммы получаем:
(3) $f(xy)=f(x)f(y)+\frac 1x f(y)+\frac 1y f(x)$.
Вводя функцию $g(x)=xf(x)+1$ из (3) получаем
(4) $g(xy)=g(x)g(y)$. Но из (2) с учётом введённой функции получается:
(5) $g(\frac yx)=g(\frac 1x)+\frac{g(y)-1}{x^2}$ Подставляя сюда выражение из 4 с аргументом 1/x вместо х получаем
$(x^2g(\frac 1x)-1)(g(y-1)\equiv 0.$
В случае $g(y)\equiv 1$ получаем $f(x)\equiv 0$. Иначе $g(\frac 1x )=\frac{1}{x^2}\to g(x)=x^2\to f(x)=x-\frac 1x$.