Возрастающий многочлен на отрезке-2: новая параметризация

[alisa-lebovski]

В прошлый раз возникла задача об отыскании границ коэффициентов возрастающих многочленов $f(x)=a_1x_1+\dots+a_nx^n$ на отрезке $[0,1]$, где $f(0)=0$, $f(1)=1$, в связи с проблемой "перебора" таких многочленов (систематического или Монте-Карло). topic127069.html

Выяснилось, что во-первых, границы возможных значений коэффициентов найти непросто, во-вторых, бОльшая часть (в смысле объема пространства) многочленов с коэффициентами, лежащими в этих границах, не являются возрастающими и должны быть отбракованы, что замедляет "перебор".

Возникла идея их параметризации не коэффициентами, а значениями, в точках вида $k/n$, $1\le k\le n-1$, которые однозначно пересчитываются в коэффициенты (система линейных уравнений). Значения понятно в каких границах брать - от 0 до 1, и каждое следующее больше предыдущего.

Но и при этом, конечно, не все многочлены оказываются возрастающими.

В связи с этим вопрос: верно ли, например, что все такие многочлены лежат (по значениям на отрезке $[0,1]$) между $x^n$ и $1-(1-x)^n$? При $n=2$ это верно.

Какие еще можно предложить ограничения на значения для отбраковки лишних?

[mihiv]

alisa-lebovski в сообщении #1353039 писал(а):

в связи с этим вопрос: верно ли, например, что все такие многочлены лежат (по значениям на отрезке $[0,1]$) между $x^n$ и $1-(1-x)^n$? При $n=2$ это верно.

Построим контрпример. Пусть $n$ - нечетное. Запишем $f'(x)$ в виде:$f'(x)=A(x-\alpha )^{n-1} \geq 0.$ Выберем $A$ так, чтобы выполнялось граничное условие при $x=1$. Получим:

$$f(x)=\dfrac {(x-\alpha )^n+\alpha ^n}{(1-\alpha )^n+\alpha ^n}, f'(x)=\dfrac {n(x-\alpha )^{n-1}}{(1-\alpha )^n+\alpha ^n}$$

Отсюда:

$$f'(1)=\dfrac {n(1-\alpha )^{n-1}}{(1-\alpha )^n+\alpha ^n}=\dfrac n{1-\alpha +\frac {\alpha ^n}{(1-\alpha )^{n-1}}}$$

При достаточно малых $\alpha , f'(1)>n$, отсюда следует, что при $x$ близких к 1 полином $f(x)<x^n$, поскольку для $x^n$ производная в точке 1 равна $n$.