интеграл

[daogiauvang]

Докажите:
$\int\limits_{ - \pi }^\pi {\cos 2x\cos 3x\cos 4x...\cos 2005xdx} > 0$
и найти наименьшее значение интеграла :
$\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {y - x^2 - t} \right|dxdy} }$

[Руст]

Представим $\cos kx=(e^{ikx}+e^{-itx})/2=(t^k+t^{-k})/2$. Тогда раскрыв скобки в произведении и проинтегрировав получим, что интеграл равен $\frac{2\pi a_0}{2^{2004}}$, где $a_0$ коэффициент перед 0-ой степенью в многочлене

$$\prod_{k=2}^{k=2005}(t^k+t^{-k}).$$

Соответственно $a_0$ равен числу подмножеств множества $\{2,3,...,2005\}$ с суммой равной половине их суммы, равной $1005007$. Очевидно оно положительное. В принципе можно вычислить этот коэффициент точно.
2) Можно проинтегрировать без t и абсолютной величины и взять t равной половину этой. Всё элементарно, поэтому лень.

[Echo-Off]

1005507?

[Руст]

Echo-Off писал(а):

1005507?

$1005007=\frac 12 (2+3+...+2005)$.
2) область $y>x^2$ занимает одну треть площади. Для того, чтобы область $y>x^2+t$ занимало половину площади надо выбрать $t=-1/3$. Соответственно наименьшее значение интеграла $\frac{98}{45}$ 9если не ошибся).

[ewert]

Руст писал(а):

область $y>x^2$ занимает одну треть площади. Для того, чтобы область $y>x^2+t$ занимало половину площади надо выбрать $t=-1/3$.

вот честно, не понял, при чём тут площади, когда речь о скорее центрах масс. Хотя что $t=-{1\over3}$ -- это да.

(Наверное, этот же результат можно получить элементарными средствами, ссылаясь на явно квадратичную зависимость интеграла от $t$, но не вдумывался.)

[Echo-Off]

Таки 1005507

[Руст]

Echo-Off писал(а):

Таки 1005507

Да $1005507=2007*\frac{2004}{4}$, я не понял вопроса сначала.