Пример функции

[MestnyBomzh]

Привести пример функции (или доказать, что такой не существует):
$\forall a,b,c: a<b<c$ выполнено: $f(a) < f(b), f(b) > f(c)$, либо $f(a) > f(b), f(b) < f(c)$.
Из условия задачи напрямую следует то, что функция нигде немонотонна. Дальше я стал думать, какие примеры таких функций я знаю. Это функция Дирихле и Вейерштрасса. Обе они не подходят, потому что не выполняется квантор всеобщности. Есть стойкое ощущение, что такой функции не существует. Подскажите, куда дальше двигаться

[Legioner93]

Уже пять точек $a < b < c < d < e$ нельзя поставить так, чтобы выполнялись все соотв. неравенства на $f(a), f(b), f(c), f(d), f(e)$

[grizzly]

Legioner93 в сообщении #1364862 писал(а):

Уже пять точек $a < b < c < d < e$ нельзя поставить

Можно подумать, что 4 можно :)

Вот настолько простой пример, что я даже надеюсь на снисходительность модераторов
Пусть $X=\{0,1,2\}, Y=\{0,1\}$, $f\colon X\to Y$, такая что $f(0)=0, f(1) = 1, f(2)=0$. Проверьте, что все условия выполняются.

[Legioner93]

grizzly в сообщении #1364863 писал(а):

Можно подумать, что 4 можно :)

Можно для $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

[grizzly]

Legioner93 в сообщении #1364868 писал(а):

Можно для $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Да, нужно 5. Я не так условие понял.

[MestnyBomzh]

Legioner93 в сообщении #1364862 писал(а):

Уже пять точек $a < b < c < d < e$ нельзя поставить так, чтобы выполнялись все соотв. неравенства на $f(a), f(b), f(c), f(d), f(e)$

Спасибо за ответ. Да, действительно, 5 точек уже не получается. Я также решил попробовать для 4-ех и у меня не получилось. Разве для 4-ех точек существует такой пример?

[Legioner93]

$f(a) = 1, f(b) = 0, f(c) = 2, f(d) = 1$