Мера Хаара на GL(C)

[npetric]

Я могу придумать два способа ввести меру Хаара на $GL(N,\mathbb{C})$.

Первый способ -- рассматривать как подмножество $GL(2N, \mathbb{R})$ (согласованное с глобальными координатами) и получить, используя факт что $\det(i(X)) = |\det(X)|^2$, ($i$ -- отображение включения) меру

$$ \dfrac{dX}{|\det(X)|^{2N}} $$

$dX$ -- обычная мера Лебега на $\mathbb{R}^{2 N \times N}$

Второй способ -- ввести обозначение $dz = d(\operatorname{Re} z) \wedge d(\operatorname{Im} z)$

Тогда $d(h z) = |h|^2 dz, \, h \in \mathbb{C}$

Теперь посмотрим, как отображение $L_{g = X^{-1}}^*$ действует на дифференциальных форме, соответствующей столбцу матрицы:

$$ dz_1 \wedge \ldots \wedge dz_N \mapsto d(g_1^i z_i) \wedge \ldots \wedge d(g_N^i z_i) $$

$d(g_j^i z_i) = |g_j^i|^2 dz_i \implies RHS = \det( |g_j^i|^2) dz_1 \wedge \ldots \wedge dz_N$

Итого, получается, имеем следующую меру:

$$ |\det( |(X^{-1})_j^i|^2)|^N dX $$

Меня это очень смутило поначалу, потому что долго не мог найти нужную меру Хаара (первую) на $GL(N,\mathbb{C})$, поскольку думал о ней как о комплексной группе. Между этими мерами есть какое-то соотношение? Отображение включения (овеществления) является гомоморфизмом групп (обычных), измеримым отображением, поэтому из единственности вторая мера должна быть прообразом первой с точностью до умножения на константу. Как-то не похоже ведь? (прошу меня проверить)

Modest: немного исправил TeX: заменил $det$ на $\det$, $Re$ на $\operatorname{Re}$, выносные формулы выделил двойными долларами.

[Slav-27]

npetric в сообщении #1363202 писал(а):

ввести обозначение $dz = d(\operatorname{Re} z) \wedge d(\operatorname{Im} z)$

Это называется не $dz$, а $\frac i2 dz\wedge d\bar z$. И получится то же самое. Так и доказывают, что $\det X_{\mathbb R}=|\det X|^2$.

[npetric]

Slav-27 в сообщении #1363209 писал(а):

Это называется не $dz$, а $\frac i2 dz\wedge d\bar z$. И получится то же самое

А какое объяснение есть тому, что $dz$ не такое, как я написал?

[vpb]

$dz\wedge d\overline z=d(x+yi)\wedge d(x-yi)=-2i\, dx\wedge dy$. Так вот принято "элемент площади" на ${\mathbb C}$ записывать. При ${\mathbb R}$-линейных преобразованиях он преобразуется как надо... (Ну, то есть надо эти дифференциалы интерпретировать, допустим, как (${\mathbb R}$-) линейные функции на векторах. Честно говоря, я в формализме комплексного анализа не очень разбираюсь.)

-- 23.12.2018, 11:04 --

То, что левонвариантная мера единственна с точностью до постоянной, можно увидеть из простых наглядных соображений.
Возьмем какую-то малую окрестность единицы $V\ni e$ в $G=GL(n,{\mathbb C})$, пусть $\varphi:V\longrightarrow U$ --- картирующее отображение на окрестность нуля $U\ni 0$ в ${\mathbb R}^{2n^2}$.
Левые сдвиги "в пределах" $V$ (т.е. когда есть два подмножества $V_1$, $V_2\subset V$, причем $gV_1=V_2$ ), соответствуют, примерно, параллельным переносам "в пределах" $U$. Поэтому, если мы считаем, что мера левоинвариантна и совместима с топологией, то понятно, интуитивно, что она должна соответствовать обычной мере (объему) на $U$, с точностью до константы. Более точно, для малых окрестностей $V_1\ni e$ рассмотрим отношение $\mu(V_1)/\nu(\varphi(V_1))$, где $\mu$ --- мера на $G$, $\nu$ --- объем на ${\mathbb R}^{2n^2}$. Понятно, что когда $V_1$ стягивается к единице, $\varphi(V_1)$ стягивается к нулю, а отношение стремится к какому-то пределу. Значит, "возле единицы" любые две левоинвариантные меры $\mu$, $\mu'$ на $G$ пропорциональны. Поскольку всю группу можно покрыть левыми сдвигами сколь угодно малой окрестности единицы, а меры эти левоинвариантны, то они пропорциональны вообще.

-- 23.12.2018, 11:16 --

Наконец, легко видеть, что левоинвариантная мера должна быть и правоинвариантной. Заметим, что группа $GL(n,{\mathbb C})$ есть произведение $SL(n,{\mathbb C})$ и ${\mathbb C}^\ast$, если ${\mathbb C}^\ast$ понимать как подгруппу скалярных матриц (вида $\lambda E$, то есть). Правый сдвиг на $\lambda E$ (т.е. умножение матрицы на $\lambda$) совпадает с левым, поэтому сохраняет меру. Дальше заметим, что правый сдвиг левоинвариантной меры --- левоинвариантная мера (это верно вообще для любой группы). Поскольку пространство левоинвариантных мер одномерно, получаем гомоморфизм из $G$ в ${\mathbb C}^\ast$. Но группа $SL(n,{\mathbb C})$ проста, поэтому на ней этот гомоморфизм тривиален, значит правые сдвиги на элементы этой подгруппы опять-таки сохраняют меру.

[npetric]

vpb
Спасибо за детальный ответ!

vpb в сообщении #1363249 писал(а):

Но группа $SL(n,{\mathbb C})$ проста, поэтому на ней этот гомоморфизм тривиален

Понятно, что из простоты с помощью подсчёта размерности для отображений алгебр Ли можно получить, что гомоморфизм тривиален (хотя без Вашей подсказки я бы не догадался подумать о связи простоты и унимодальности, спасибо).
Но разве $SL(n,{\mathbb C})$ проста? Сам я это доказать не могу (доказывал бы через идеалы в алгебре Ли), да и в списке её нет.

Впрочем, унимодулярность здесь можно доказать и прямой проверкой, кажется.

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1363249 писал(а):

То, что левонвариантная мера единственна с точностью до постоянной, можно увидеть из простых наглядных соображений.
Возьмем какую-то малую окрестность единицы $V\ni e$ в $G=GL(n,{\mathbb C})$, пусть $\varphi:V\longrightarrow U$ --- кар

зачем это все? когда достаточно заметить, что всякая левоинвариантная диф. форма на группе получается растаскиванием с помощью левых сдвигов формы из $T_eG$. И не надо ссылаться на матричные группы для этого. Вообще любой левоинвариантный тензор так получается.

[vpb]

В группах Ли есть такая терминология: группа (связная) называется простой, если в ней нет собственных связных нормальных подгрупп. (Эквивалентно, если ее алгебра Ли проста). Как абстрактная группа она может быть и не простая. Особенно $SL(n,{\mathbb C})$, в которой центр порядка $n$. В Википедии же под простотой понимают абстрактную простоту.

(Вообще, про классические группы можно почитать: Каргаполов, Мерзляков, Основы теории групп (там в главе про конечные группы совсем чуть-чуть, доказывается простота групп $PSL(n,K)$, в частности, но очень коротко и не поучительно); Э.Артин, Геометрическая алгебра; Ж.Дьедонне, Геометрия классических групп (но эта книга чересчур уж алгебраична); M. Suzuki, Group Theory I, параграф 9 главы 1 (весьма рекомендую!). )

Собственно, я был не вполне прав: нужна не простота, а тот факт, что из $SL(n,{\mathbb C})$ нет гомоморфизмов в абелеву группу. Это можно прямо сейчас набросать. ... Точнее, можно было бы, но лучше завтра.
В Судзуки в любом случае очень хорошо написано.

[npetric]

vpb в сообщении #1363298 писал(а):

В группах Ли есть такая терминология: группа (связная) называется простой, если в ней нет собственных связных нормальных подгрупп. (Эквивалентно, если ее алгебра Ли проста). Как абстрактная группа она может быть и не простая. В Википедии же под простотой понимают абстрактную простоту.

Я это понимаю, и в ссылке на вики речь также шла о простых группах Ли (в смысле простоты для групп Ли, загляните).

Книгу Судзуки посмотрю, благодарю. А по группам Ли я читаю Introduction to Lie Groups and Lie Algebras Alexander Kirillov, Jr., Analysis on Lie Groups
An Introduction, Faraut

Цитата:

Собственно, я был не вполне прав: нужна не простота, а тот факт, что из нет гомоморфизмов в абелеву группу

Ну из второго следовало бы, но и первого достаточно. Действительно, ядро гомоморфизма будет нормальной замкнутой подгруппой (а есть теорема, что в таком случае будет и embedded подмногообразием), поэтому, если оно нетривиально, то будет и нормальной собственной подгруппой Ли. То, что ядро не нулевое, следует просто из подсчёта размерностей для индуцированных отображений алгебр Ли.

Про модулярную функцию известно, что она является непрерывным гомоморфизмом, то есть гомоморфизмом групп Ли

-- 23.12.2018, 19:19 --

А, или вы к тому, что ядро может быть не связным?

[iou]

vpb в сообщении #1363298 писал(а):

а тот факт, что из $SL(n,{\mathbb C})$ нет гомоморфизмов в абелеву группу.

Это условие можно немного ослабить, если потребовать конечности первых гомологий (группы). Впрочем, для $SL(n, \mathbb{C})$ это верно, поскольку элементарные матрицы порождают всю группу.

[vpb]

В списке нет потому, что в таблице перечислены только группы с тривиальным центром, т.е. простые как абстрактные, а остальные --- их конечнолистные накрытия (в статье так и написано).

Я на самом деле сам слегка попутался с лиевской простотой и абстрактной ... замнем для ясности.

Докажем, что нет нетривиального гомоморфизма из $SL(n,{\mathbb C})$ в абелеву группу, прямо. Рассмотрим сначала $SL(2,{\mathbb C})$, и в ней элементы

$$ x_{12}(u)=1+ue_{12}=\begin{pmatrix} 1 & u \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ \qquad d(t)={\rm diag}(t,t^{-1})=\begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}\,. $$

Легко посчитать, что $d(t)x_{12}(u)d(t)^{-1}x_{12}(u)^{-1}=x_{12}((t^2-1)u)$. Поэтому при любом гомоморфизме в абелеву группу $x_{12}((t^2-1)u)$ переходит в единицу. Но любое $u\in{\mathbb C}$ имеет вид $(t^2-1)v$, значит всегда $x_{12}(u)$ переходит в 1. Аналогично и $x_{21}(u)$ (транспонированный к $x_{12}(u)$) переходит в 1.

Теперь вспомним, что такое элементарные преобразования матриц. Они бывают трех типов, см. учебник Кострикина, например. Эти преобразования соответствуют умножению матрицы справа или слева на матрицы определенных простых видов. Преобразования третьего типа для строк, т.е. прибавить к одной строке другую, умноженную на коэффициент, как раз соответствуют умножению матрицы слева на элементарную матрицу вида $x_{ij}(u)$.

Как известно, элементарными преобразованиями строк и столбцов любая матрица приводится к виду, когда на диагонали несколько первых элементов единицы, а остальные элементы диагонали, так же как и все вне диагонали --- нули. Если ограничиться лишь преобразованиями третьего типа для строк и столбцов, то, немного постаравшись, можно показать,
что любая матрица приводится к виду, когда вне диагонали все нули, а на диагонали или несколько первых единицы, остальные нули, или же нулей вообще нет, все кроме последнего единицы, а последний может быть и не единицей (на самом деле тогда этот последний элемент --- не что иное, как определитель исходной матрицы).

Значит, любой элемент из $SL(n,{\mathbb C})$ умножениями на элементы вида $x_{ij}(u)$ справа и слева приводится к единице. Значит, эти элементы порождают всю группу. А поскольку при гомоморфизме в абелеву группу они все переходят в 1, то то же верно и для всей группы.

Указанное рассуждение верно, заметим, для любого поля, кроме полей вычетов по модулям 2 или 3.

-- 24.12.2018, 14:42 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1363280 писал(а):

зачем это все?

Например, потому, что понятие "объем", пмсм, понятнее, чем "тензор". Я вообще думаю, что в наличии разных подходов к одному предмету нет ничего особо странного.

[npetric]

vpb в сообщении #1363468 писал(а):

В списке нет потому, что в таблице перечислены только группы с тривиальным центром, т.е. простые как абстрактные, а остальные --- их конечнолистные накрытия (в статье так и написано).

Да, действительно. Виноват, не всё прочитал

Спасибо ещё раз!