2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача
Сообщение18.12.2018, 12:42 


23/04/18
143
Даны следующие два пункта задачи (даю их точно так, как в учебнике):
a) Используя данные п. 2 настоящего параграфа, получите формулу поправочного члена для учета зависимости давления от температуры столба воздуха, если эта температура подвержена изменениям (например, сезонным) в пределах $±40$◦C.
b) Найдите по формуле $p(h)=p_0e^{-\frac{gM}{RT}h}$ ($M$ - молярная масса воздуха, $g$ - ускорение свободного падения, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура во всём столбе воздуха, $p_0$ - атмосферное давление) зависимость давления $p$ от высоты $h$ при температурах $-40$◦C, $0$◦C, $40$◦C и сравните эти результаты с результатами, которые
дает ваша приближенная формула из a).
вот ссылка на учебник: http://math.uchicago.edu/~eskin/math203/Analiz%201%20(2012).pdf
Собственно непонятно, что именно требуется в пункте а). Если кратко, то насколько я понимаю, единственное, что делается в пункте 2 параграфа - это вывод вот этой самой формулы $p(h)=p_0e^{-\frac{gM}{RT}h}$ (назовём её формулой 1), в которой температура принимается неизменной во всём столбе воздуха. Непонятно, что подразумевается под поправочным членом и его формулой. Получается даны пределы изменения температуры, но если неизвестно, как именно изменяется температура в столбе (допустим даже непрерывно), то по-моему максимум, что мы можем сделать это вычислить среднее арифметическое значений давления $p(h)$ при температурах $-40$◦C и $40$◦C, чтобы максимальная погрешность при любом виде изменения температуры воздуха была минимальной. Или я в чём-то неправ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача
Сообщение18.12.2018, 15:08 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Можно считать, что давление на некоторой высоте $h$ является функцией температуры и выяснить, как будет меняться давление при сравнительно малом изменении температуры $\Delta T$. В общем, стандартная задача на оценку приращения функции при некотором приращении аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача
Сообщение18.12.2018, 15:10 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Я думаю, принимаются такие допущения: что температура постоянна по высоте, и что всё находится в равновесии, нет никаких ветров и т.д. Т.е. принимаем в расчет только изменение температуры с ходом времени, а не какие-то метеорологические явления. При этом функция давления $p(h,T)$ определена той самой формулой. Формулу эту можно разложить на главный член, поправочный 1-го порядка, и остаток. Главный член --- это $p(h,T_0)$, где $T_0$ --- некоторая выбранная температура в интервале от $-40$ до $+40$, скажем $0$, $20$, или $27$ градусов (не знаю, как в физике принято, но Зорич, как я видел, берет 27). Поправочный --- пропорционален $\Delta T=T-T_0$, и еще зависит от $h$. Остаточный --- всё, что осталось ("ошибка приближения"). Ваша задача --- написать формулу для главного члена, а также оценить остаточный числом, причем, как я понимаю, эта оценка должна быть пригодна для любой высоты (положительной над уровнем моря) и любой температуры в указанном интервале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача
Сообщение18.12.2018, 17:45 


23/04/18
143
vpb, то есть вы предлагаете разложить функцию давления от времени в полином Тейлора. Но тогда, поправочный член будет пропорционален не $T-T_0$, а $t-t_0$ и для того, чтобы описать функцию давления нам нужно знать, как именно во времени меняется температура. К тому же в пункте б) предлагается сравнивать результаты полученной формулы с показателями формулы 1, которая вообще не принимает во внимание течение времени, а если вы правы, то не имеет никакого смысла пункт б). Я думаю время тут не причём.
Pphantom, аналогично, на выбранной высоте вы предлагаете рассматривать изменение температуры во времени

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача
Сообщение18.12.2018, 17:50 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Paul Ivanov в сообщении #1362230 писал(а):
аналогично, на выбранной высоте вы предлагаете рассматривать изменение температуры во времени
Я не предлагаю рассматривать изменение температуры во времени, я предлагаю найти изменение давления на фиксированной высоте при некотором изменении температуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача
Сообщение18.12.2018, 18:50 


05/09/16
12038
vpb в сообщении #1362189 писал(а):
Я думаю, принимаются такие допущения: что температура постоянна по высоте,
Да в этих двух температура постоянная по высоте, а дальше есть еще пункт c) где предлагается посчитать на случай переменной температуры по высоте.

(Оффтоп)

Paul Ivanov а у вас в телефоне есть барометр? Если есть, и вы живете в достаточно высоком доме (10 и больше этажей) то сможете проверить результат прям на практике! Внутри дома у вас температура более-мене постоянная, а снаружи она сейчас во-первых заметно меньше, а во-вторых -- немножко меняется с высотой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача
Сообщение18.12.2018, 18:52 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Paul Ivanov
Нет, время ни при чем. Для ясности: словосочетание "изменение температуры с ходом времени, а не какие-то метеорологические явления" замените на "изменение давления, рассматриваемое лишь в связи с изменением температуры, независимо от обуславливающих таковое изменение температуры причин". Главное, что в этом пункте задачи считается, что весь столб воздуха имеет одну и ту же температуру. Про ход времени я упомянул только в качестве одной из таких возможных причин (день-ночь, зима-лето, и т.д). И надо не разлагать в полином Тейлора, а удовольствоваться линейной частью его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача
Сообщение19.12.2018, 17:16 


23/04/18
143
Так, я выбрал $T_0=\sqrt{T_1T_2}\approx 270K$, где $T_1=-40$◦C$=233K$, $T_2=40$◦C$=313K$
Тогда $P(h,T)=P_0e^{-\frac{k}{T_0}}+P_0e^{-\frac{k}{T_0}}\frac{k(T-T_0)}{T_0^2}+\alpha(h,T)$, где $k=\frac{gMh}{R}$ и $|\alpha(h,T)|\leqslant 0,006P_0$. Но тогда непонятно как не зная значение $h$ сравнить в пункте б) эту аппроксимирующую формулу (взятую без остаточного члена) с формулой 1 - $P(h,T)=P_0e^{-\frac{k}{T}}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача
Сообщение21.12.2018, 07:40 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Paul Ivanov в сообщении #1362491 писал(а):
и $|\alpha(h,T)|\leqslant 0,006P_0$

Так в пункте б) как раз и имеется в виду, что надо вот эту оценку найти. В общем, можете считать, что решили задачу (а можно еще для порядку обосновать указанную оценку).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group