Периодические решения периодических систем

[demolishka]

Рассмотрим систему $\dot{x}= f(t,x)$ в $\mathbb{R}^{n}$ с $T$-периодической правой частью: $f(t+T,x)=f(t,x)$. Известна теорема, что если $x^{*}(t)$ --- решение с несоизмеримым периодом, то $f(t,x^{*}(s))$ не зависит от $t$ при любом $s$ (т. е. векторное поле в точках траектории решения не зависит от времени). Бывают решения $T$-периодические (гармонические), бывают с кратным $T$ периодом (субгармонические). А можно ли привести пример, чтобы период решения был $r T$, $r \in \mathbb{Q}$, но при этом векторное поле в точках решения все же зависело от $t$?

[Slav-27]

Не очень понятно, чего вы хотите.

Пойдёт ли $\dot x=x\cos t$, $x^*(t)=e^{\sin t}$?

[demolishka]

Я хочу периодическое решение такое, что отношение периода этого решения к периоду правой части - рациональное (не целое) число, но при этом векторное поле в точках решения зависит от времени. Для примера, система

$$\dot{x} = -a y + (1-x^2 - y^2) \cos t, \\ \dot{y} = a x $$

имеет решение $x(t)=\cos(at), y(t)=\sin(at)$ с периодом $T'=\frac{2\pi}{a}$, в то время как система $2\pi$-периодическая. Поэтому отношение периодов может быть любым желаемым (при соответствующем $a$). Но особенность данной системы в том, что в точках указанного решения векторное поле не зависит от $t$. Теорема, приведенная выше, показывает, что это всегда так, когда период решения несоизмерим с периодом системы. Но для меня остается вопрос: может ли быть так, что отношение периодов - рациональное, но не целое число, и при этом векторное зависит от времени на решении? Про то, что так бывает для целочисленного отношения мне известно. Еще, например, такого не может быть для системы вида $x' = g(x) + f(t)$ с периодической правой частью: все периодические решения - либо гармонические, либо субгармонические.