Зорич гл. V 6.2 а-б что требует найти задача

[Paul Ivanov]

Даны следующие два пункта задачи (даю их точно так, как в учебнике):
a) Используя данные п. 2 настоящего параграфа, получите формулу поправочного члена для учета зависимости давления от температуры столба воздуха, если эта температура подвержена изменениям (например, сезонным) в пределах $±40$◦C.
b) Найдите по формуле $p(h)=p_0e^{-\frac{gM}{RT}h}$ ($M$ - молярная масса воздуха, $g$ - ускорение свободного падения, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура во всём столбе воздуха, $p_0$ - атмосферное давление) зависимость давления $p$ от высоты $h$ при температурах $-40$◦C, $0$◦C, $40$◦C и сравните эти результаты с результатами, которые
дает ваша приближенная формула из a).
вот ссылка на учебник: http://math.uchicago.edu/~eskin/math203/Analiz%201%20(2012).pdf
Собственно непонятно, что именно требуется в пункте а). Если кратко, то насколько я понимаю, единственное, что делается в пункте 2 параграфа - это вывод вот этой самой формулы $p(h)=p_0e^{-\frac{gM}{RT}h}$ (назовём её формулой 1), в которой температура принимается неизменной во всём столбе воздуха. Непонятно, что подразумевается под поправочным членом и его формулой. Получается даны пределы изменения температуры, но если неизвестно, как именно изменяется температура в столбе (допустим даже непрерывно), то по-моему максимум, что мы можем сделать это вычислить среднее арифметическое значений давления $p(h)$ при температурах $-40$◦C и $40$◦C, чтобы максимальная погрешность при любом виде изменения температуры воздуха была минимальной. Или я в чём-то неправ?

[Pphantom]

Можно считать, что давление на некоторой высоте $h$ является функцией температуры и выяснить, как будет меняться давление при сравнительно малом изменении температуры $\Delta T$. В общем, стандартная задача на оценку приращения функции при некотором приращении аргумента.

[vpb]

Я думаю, принимаются такие допущения: что температура постоянна по высоте, и что всё находится в равновесии, нет никаких ветров и т.д. Т.е. принимаем в расчет только изменение температуры с ходом времени, а не какие-то метеорологические явления. При этом функция давления $p(h,T)$ определена той самой формулой. Формулу эту можно разложить на главный член, поправочный 1-го порядка, и остаток. Главный член --- это $p(h,T_0)$, где $T_0$ --- некоторая выбранная температура в интервале от $-40$ до $+40$, скажем $0$, $20$, или $27$ градусов (не знаю, как в физике принято, но Зорич, как я видел, берет 27). Поправочный --- пропорционален $\Delta T=T-T_0$, и еще зависит от $h$. Остаточный --- всё, что осталось ("ошибка приближения"). Ваша задача --- написать формулу для главного члена, а также оценить остаточный числом, причем, как я понимаю, эта оценка должна быть пригодна для любой высоты (положительной над уровнем моря) и любой температуры в указанном интервале.

[Paul Ivanov]

vpb, то есть вы предлагаете разложить функцию давления от времени в полином Тейлора. Но тогда, поправочный член будет пропорционален не $T-T_0$, а $t-t_0$ и для того, чтобы описать функцию давления нам нужно знать, как именно во времени меняется температура. К тому же в пункте б) предлагается сравнивать результаты полученной формулы с показателями формулы 1, которая вообще не принимает во внимание течение времени, а если вы правы, то не имеет никакого смысла пункт б). Я думаю время тут не причём.
Pphantom, аналогично, на выбранной высоте вы предлагаете рассматривать изменение температуры во времени

[Pphantom]

Paul Ivanov в сообщении #1362230 писал(а):

аналогично, на выбранной высоте вы предлагаете рассматривать изменение температуры во времени

Я не предлагаю рассматривать изменение температуры во времени, я предлагаю найти изменение давления на фиксированной высоте при некотором изменении температуры.

[wrest]

vpb в сообщении #1362189 писал(а):

Я думаю, принимаются такие допущения: что температура постоянна по высоте,

Да в этих двух температура постоянная по высоте, а дальше есть еще пункт c) где предлагается посчитать на случай переменной температуры по высоте.

(Оффтоп)

Paul Ivanov а у вас в телефоне есть барометр? Если есть, и вы живете в достаточно высоком доме (10 и больше этажей) то сможете проверить результат прям на практике! Внутри дома у вас температура более-мене постоянная, а снаружи она сейчас во-первых заметно меньше, а во-вторых -- немножко меняется с высотой.

[vpb]

Paul Ivanov
Нет, время ни при чем. Для ясности: словосочетание "изменение температуры с ходом времени, а не какие-то метеорологические явления" замените на "изменение давления, рассматриваемое лишь в связи с изменением температуры, независимо от обуславливающих таковое изменение температуры причин". Главное, что в этом пункте задачи считается, что весь столб воздуха имеет одну и ту же температуру. Про ход времени я упомянул только в качестве одной из таких возможных причин (день-ночь, зима-лето, и т.д). И надо не разлагать в полином Тейлора, а удовольствоваться линейной частью его.

[Paul Ivanov]

Так, я выбрал $T_0=\sqrt{T_1T_2}\approx 270K$, где $T_1=-40$◦C$=233K$, $T_2=40$◦C$=313K$
Тогда $P(h,T)=P_0e^{-\frac{k}{T_0}}+P_0e^{-\frac{k}{T_0}}\frac{k(T-T_0)}{T_0^2}+\alpha(h,T)$, где $k=\frac{gMh}{R}$ и $|\alpha(h,T)|\leqslant 0,006P_0$. Но тогда непонятно как не зная значение $h$ сравнить в пункте б) эту аппроксимирующую формулу (взятую без остаточного члена) с формулой 1 - $P(h,T)=P_0e^{-\frac{k}{T}}$?

[vpb]

Paul Ivanov в сообщении #1362491 писал(а):

и $|\alpha(h,T)|\leqslant 0,006P_0$

Так в пункте б) как раз и имеется в виду, что надо вот эту оценку найти. В общем, можете считать, что решили задачу (а можно еще для порядку обосновать указанную оценку).