Что такое сингулярность?

[SNet]

Можно это объяснить как-то студенту первого курса (то есть в рамках основ матанализа и линейной алгебры)? Очень хотелось бы хотя бы иметь корректное представление об этом объекте. Может, какие аналогии существуют.

[Pphantom]

Точка разрыва функции второго рода.

[SNet]

Pphantom
Понял, спасибо.

[Guvertod]

Вы про гравитационную? Могу попробовать.

Для начала:

В ОТО пространство-время - это некоторое множество точек $x$ - событий, а именно:

1)Оно связное хаусдорфово пространство, у каждой точки которого существует окрестность, которую можно биективно и непрерывно отобразить в $R^4$ .Такое отображение называется координатной картой. Переходы между картами бесконечно гладкие.
2)Оно снабженно локально-лоренцевой метрикой $g(x): a,b \to R$ - полилинейной формой ( бесконечно гладко зависящей от точки , в некотором смысле), определяющей значение на двух касательных векторах ($a,b$) в данной точке $x$ (кас. вектор можно понимать как класс эквивалентности кривых, а именно - эквивалентность соответствует их касанию в данной точке), имеющей сигнатуру $(+1,-1,-1,-1)$ (соответствующая ей квадратичная форма может быть приведена к такому диагональному виду в базисе кас. пространства).

Короче эта структура обозначается как $(M,g)$ - $связное C^{\infty}$ 4-многообразие (1) с метрикой вида (2).

Если опустить все эти формальности, то можно сказать, что у нас есть "что-то, локально похожее на $R^4$, наделенное метрикой с указанной сигнатурой и тут все, как обычно в физике, бесконечно гладко". (можно требовать и меньшую гладкость, но это уже формальности).

Теперь, переходя ближе к физике, как определялось в п.1, мы можем ввести координатную карту в некоторой окрестности или "систему координат" - то есть однозначно задать точки этой окрестности величинами $x^0,x^1,x^2,x^3 \leftrightarrow x$ или $x^{\alpha}$ ($\alpha$ пробегает значения от $0$ до $3$). Вектора теперь можно будет однозначно задать компонентами $a(x)^{\alpha}$, а метрику - симметричной матрицей $g(x)_{\alpha \beta}$.

Основное понятие тут это интервал: $ds^2=g(x)_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}$ (по индексам подразумевается суммирование).
Форма интервала задает всю физику: длина траектории массивной частицы ($ds>0$) - $\int ds$ - есть ее собственное время (причем, суть самой идеи ОТО в том, что частица движется так, что она экстремальна). Интеграл по $ds<0$ - задает пространственное расстояние, по $ds=0$ дивжется свет (все как в СТО, если вы с ней знакомы, только как-бы обобщено).
На метрику пишутся уравнения гравитации, которые связывают ее с веществом в пространстве-времени. Но все это очень долгая история, которую сейчас излагать не имеет смысла...

Частный случай - это пространство-время СТО: $M$ - это просто $R^4$, интервал в карте $$(ct,x,y,z)$, соответствующей координатам из ИСО (которая покрывает все ПВ), имеет вид:

$$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$$

Подходя к теме сингулярностей:

$(M',g')$ называется расширением, если в него можно отобразить ("вложить") наше $(M,g)$, так что это будет бесконечно гладким и взаимно однозначным отображением в свой образ, сохраняющий метрику.
То есть наше метрическое многообразие является частью большего метрического многообразия. Например, в случае СТО, область с $x\in(-1;1)$ может быть расширена до всего $M'=R^4$
Физикам, разумеется, нужно максимальное расширение, максимально полное описание пространства-времени.

Оказывается однако, что может еще случиться такая вещь как геодезическая неполнота. То есть когда вся мировая линия падающего наблюдателя в данном пространстве-времени может иметь конечную длину $\int ds$.

Если при этом наше ПВ расширить нельзя, оно максимально расширенное, то геодезическая неполнота, как-бы, не очень хорошо.
Ведь получается, что , свободно падая, за конечное собственно время можно как-бы достигнуть края ...всего!
Тогда и говорят о сингулярности, которая и является, в некотором смысле, краем нашего пространства-времени, в которую упрутся некоторые падающие частицы.

Однако, определение через геодезическую полноту, оказывается, все-таки формально недостаточное. Вводится некоторое определение b - неполноты, изложение которого сложно.

Однако интуитивно верен смысл, что сингулярность - это граница непродолжаемого пространства-времени.

Пример - это решение (уравнений Эйнштейна на метрику $g_{\alpha \beta}$) Шварцшильда (описывающее черную дыру):

$$ds^{2} = \left(1-\frac{r_s}{r}\right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\displaystyle\frac{r_s}{r}\right)} - r^2 \left( \sin^2\theta\,d\varphi^2 + d\theta^2 \right)$$

Как видим, метрика перестает быть лоренцевой при $r=0$ и при $r=r_s$.
Согласно определению пространства-времени, интерпретировать этот вычислительный результат нужно так: тут 2 простнаства-времени: $M_1$ при $r \in (0;r_s) $ и $M_2$ при $r>r_s$.

Оказывается , что $M_1$ и $M_2$ вкладываются в одно, максимально-расширенное $M$ и проблемы на $r_s$ оказываются просто причиной неудачного выбора координат, а вот с $r=0$ проблема остается, и оно, по определению, исключено из $M$ и в него за конечное время упираются падающие в черную дыру частицы, то есть это и есть сингулярность.

[Munin]

Добавлю, что если речь о "сингулярностях ОТО" - эта точка разрыва находится на конце интервала определения функции.

[schekn]

Guvertod хорошо написал. Но я давно заметил одну любопытную вещь.
Когда получают уравнения Гильберта-Эйнштейна вариационным методом, математики накладывают определённые ограничения на метрические функции. Как минимум требуют гладкости , но вообще говоря , необходима также и непрерывность вторых производных. Когда же уравнения получены, то физики-теоретики нарушают эти ограничения и запросто рассматривают решения с разрывом вторых производных метрических функций по координатам. Это скорее всего относится к гравитационным волнам.
Разрыв первых производных также не всегда ведет к чему-то ужасному. Например, недавно я рассматривал пересечение слоёв при коллапсе и там скалярная кривизна $R$ становится бесконечной, хотя ничего катастрофического не происходит.
Это даже в некоторых статьях назвали "слабой сингулярностью".
А вот нарушение непрерывности - это да , серьезная физическая сингулярность.
Наверное не только в ОТО можно наблюдать такие нестыковки в математических и физических подходах.

[Munin]

Начинающему рекомендуется к комментариям schekn относиться скептически. Он "заслуженный опровергун".