О счётных ординалах

[Mikhail_K]

Наверное, простой вопрос для тех, кто в теме. Это не задача, мне просто интересно знать ответ.
Есть счётные ординалы: $\omega$, $\omega^\omega$, $\omega^{\omega^\omega}$ и т.д.
Берём объединение всех таких ординалов и получаем $\varepsilon_0=\omega^{\omega^{\omega^{\dots}}}$.
Дальше будем возводить в степень: $\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}$, снова возьмём объединение, обозначим его $\mu_0$. Потом будем его возводить в степень самого себя.
Я даже думаю, что можно получить бесконечную последовательность $\omega$, $\varepsilon_0$, $\mu_0$, $\dots$, затем взять объединение всех этих множеств, получить новый ординал и его тоже возводить в степень.

Короче говоря, делаем все возможные операции, связанные с возведением в степень и переходом к пределу.

Два вопроса:
1) Все ли получаемые таким образом ординалы будут счётными? Если нет, на каком шаге получится несчётный ординал?
2) Если да, то все ли (в смысле, сколь угодно большие ли) счётные ординалы можно получить таким способом?

[AGu]

Если число описанных Вами шагов счетно, то получится счетный ординал — по той простой причине, что объединение (предел, супремум) счетного множества счетных ординалов является счетным ординалом. Каждый счетный ординал будет получен на одном из описанных Вами шагов (или где-то между ними, если делать «крупные» шаги). Первый несчетный ординал возникнет на первом несчетном шаге.

Кстати, между описанными Вами «шагами» и самими ординалами по сути почти нет разницы (строго говоря, эти конструкции порядково изоморфны). Так что счетное число шагов даст счетный ординал, а несчетное — несчетный. Почти тавтология.

[Mikhail_K]

Небольшое уточнение на всякий случай.
Число описанных мною шагов предполагаю конечным.
Шаги следующие: возведение в степень самого себя; переход к пределу; причём, если видим, что повторили какую-то последовательность действий, скажем, три раза, то на следующем шаге предполагаем её повторённой бесконечное множество раз и опять переходим к пределу.
Насколько я понял, так я могу получить ординал, бОльший любого заданного счётного ординала, за конечное число шагов.

[AGu]

Mikhail_K в сообщении #996334 писал(а):

Насколько я понял, так я могу получить ординал, бОльший любого заданного счётного ординала, за конечное число шагов.

Нет. Даже сделав бесконечное счетное число таких шагов, вы получите счетный ординал. А ведь за ним еще есть счетные ординалы. Все счетные ординалы можно исчерпать только за несчетное число шагов.

-- 2015.03.27 14:58 --

Я поясню чуть формальнее. В своем уточняющем сообщении Вы описали последовательность (а значит, счетное семейство) шагов, на каждом из которых получается какой-то счетный ординал. Так вот, как бы ни строилось такое семейство, оно не может содержать «сколь угодно большие» счетные ординалы. Причина тривиальна: объединение всех членов такого семейства является счетным ординалом, превосходящим все эти члены.

[Mikhail_K]

Вы точно правильно понимаете всю процедуру? Формально она конечная, но многократные переходы к пределу делают её фактически счётной.
Кроме того, "сделать бесконечное число" описанных мною шагов и получить при этом "счётный ординал", как Вы говорите - не факт что получится. Мои шаги - неалгоритмизуемы. Точнее, как только у нас получается алгоритм такой процедуры, про который можно сказать "мы сделаем бесконечное число таких шагов", я тотчас же на следующем шаге отказываюсь от этого алгоритма, предполагаю его реализованным до бесконечности и строю ординалы дальше.

Например: был алгоритм - возведение в степень:
$\omega$, $\omega^\omega$, $\omega^{\omega^{\omega}}$, $\dots$.
Мы видим, что шаги повторяются. Отказываемся от первоначального алгоритма и переходим к пределу этой последовательности, получаем $\varepsilon_0$.
Дальше возводим: $\varepsilon_0$, $\varepsilon_0^{\varepsilon_0}$, $\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}$, $\dots$. Вновь переходим к пределу, получаем $\mu$.
Дальше возводим: $\mu$, $\mu^\mu$, $\mu^{\mu^\mu}$, $\dots$. Переходим к пределу, получаем $\zeta$.

Но тут (!) мы замечаем, что у нас наметился алгоритм: возводить в степень, затем переходить к пределу. Так мы получили уже четыре члена такой последовательности: $\omega$, $\varepsilon_0$, $\mu$, $\zeta$, $\dots$. Вместо того, чтобы дальше продолжать эту последовательность, мы отказываемся от этого алгоритма и сразу переходим к пределу ВСЕЙ этой последовательности. Пусть это оказался $A$.

Дальше будем возводить в степень уже $A$. Предел степеней $A$ пусть будет $A_1$. Предел степеней $A_1$ - $A_2$. Предел всех этих $A$ с индексами - $B$, затем $B_1$, $B_2$ и так далее. Пределом $A$, $B$, $C$ и других пусть будет $\Omega$.

Но рано или поздно, продолжая так делать, мы вновь увидим алгоритм, которому мы устойчиво следуем, уже во много раз более сложный, чем первоначальное возведение в степень: сначала $\zeta$, потом $\Omega$... Как только мы видим алгоритм, мы сразу дальше одним шагом продолжаем его до бесконечности, получаем новый ординал.

Неужели мы так не получим всех счётных ординалов?

----------

Наверное, надо пояснить, в чём смысл всей этой процедуры. Он прост: я хочу рассмотреть вообще ВСЕ МЫСЛИМЫЕ ординалы, которые можно как-то описать на человеческом языке, как-то определить, чтобы это было понятное для всех точное определение. Причём определение это должно быть (сколь угодно сложной) редукцией к $\omega$. Например, определение "множество всех счётных ординалов" не подойдёт.

Вот мне и интересно, совпадает ли это множество мыслимых ординалов со множеством счётных ординалов? или же среди счётных ординалов есть такие большие, что их невозможно описать на человеческом языке (конечным числом слов)?

-- 27.03.2015, 12:12 --

----------
Agu, я написал это сообщение, когда не видел Вашей последней поправки. Итак, что Вы хотите сказать? На каждом шаге этой моей последовательности, пусть даже неалгоритмизуемой за счёт постоянной смены алгоритмов и перехода к более сложным, мы будем получать счётные ординалы. Таким образом, получится последовательность счётных ординалов. Но объединение всех этих счётных ординалов (которое уже выше возможностей нашего описания, именно из-за неалгоритмичности самой последовательности) также будет счётным ординалом, за которым есть другие счётные ординалы. Таким образом, моя гипотеза о совпадении классов описуемых (редуцируемых к $\omega$) и счётных ординалов неверна. Так?

[AGu]

Mikhail_K в сообщении #996350 писал(а):

Неужели мы так не получим всех счётных ординалов?

Не получим. Причину я уже указал. Она тривиальна. Так что тут трудно ошибиться. И (не)алгоритмизуемость тут никакой роли не играет.

-- 2015.03.27 15:17 --

Mikhail_K в сообщении #996350 писал(а):

Таким образом, моя гипотеза о совпадении классов описуемых (редуцируемых к $\omega$) и счётных ординалов неверна. Так?

Да.

[Mikhail_K]

Спасибо, теперь всё понятно.

-- 10.04.2016, 15:07 --

Эта тема годичной давности была поднята мной по ошибке. Щёлкнул не туда.

[ITSME]

Поясните, пожалуйста, и мне: может ли счетный ординал (не кардинал) иметь конфинальность
с меньшим порядковым типом ?