Задача про симметричные матричные пучки

[iskon]

Пусть $A^{-1}$ -- симметричная невырожденная матрица, которая имеет собственные значения разных знаков. Докажите, что существует симметричная матрица $B$ такая, что матрица $A^{-1}B$ имеет комплексное собственное значение (комплексное имеется ввиду с ненулевой мнимой частью).
Я переформировал задачу в терминах матричных пучков. А именно, показать, что существует симметричная матрица $B$ такая, что матричный пучок $B - \lambda A$ имеет комплексное собственное значение. Думаю, что существует теорема из теории матричных пучков. Прочитал несколько статей на эту тема (например, https://core.ac.uk/download/pdf/82346327.pdf), но не смог ничего найти.

[g______d]

Попробуйте доказать для матриц $2\times2$. Если это верно, то общий случай можно получить, сузив $A$ на двумерное инвариантное подпространство, порождённое двумя собственными векторами.

[vpb]

Еще непонятно, при чем тут отрицательность ? Утверждение верно или для всех невырожденных симметрических матриц, или вообще неверно. Может быть, подразумевается, что матрица имеет собственные значения разных знаков ?

[iskon]

vpb в сообщении #1360804 писал(а):

Еще непонятно, при чем тут отрицательность ? Утверждение верно или для всех невырожденных симметрических матриц, или вообще неверно. Может быть, подразумевается, что матрица имеет собственные значения разных знаков ?

Спасибо за замечание! Да, собственные значения разных знаков (поправил вопрос).

-- 12.12.2018, 19:54 --

g______d в сообщении #1360802 писал(а):

Попробуйте доказать для матриц $2\times2$. Если это верно, то общий случай можно получить, сузив $A$ на двумерное инвариантное подпространство, порождённое двумя собственными векторами.

Хорошая идея, спасибо!

[Евгений Машеров]

По-моему, у Парлетт в "Симметричная проблема собственных значений" в последней главе такое рассматривается.

[Евгений Машеров]

Как вариант... Рассмотрим разложение матрицы $A=C^T\Lambda C$, где $C$ ортогональны, а $\Lambds$ диагональная матрица из собственных значений, некоторые $\lambda_i<0$
Тогда
$B - \mu A$ эквивалентно $\Lambda^{-1/2}CBC^T\Lambda^{-1/2}-\mu I$
Ну, а может ли симметричная комплекснозначная матрица иметь только действительные с.з., наверно, уже можно доказать...

[g______d]

Евгений Машеров в сообщении #1360968 писал(а):

Ну, а может ли симметричная комплекснозначная матрица иметь только действительные с.з., наверно, уже можно доказать...

Вроде может любые иметь (в смысле что любой набор из $n$ комплексных чисел может быть её спектром).

[g______d]

Решение-то, кстати, простое. Перейдём в базис, в котором $A$ диагональна. Не умаляя общности, можно считать, что $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-m\end{pmatrix}$, где $m>0$. Тогда нужно найти такие вещественные числа $a,b,c$, что матрица

$$ \begin{pmatrix}1&0\\0&-m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\-m b&-m c\end{pmatrix} $$

имеет хотя бы одно собственное число с ненулевой мнимой частью. Подобрать параметры так, чтобы дискриминант квадратного уравнения был отрицательным -- справитесь?

[g______d]

В данном случае даже можно максимально конкретно: любая матрица $B$ с очень большим $b$ подойдёт (при фиксированных $m,a,c$).