Сопряженные числа

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Уважаемые, помогите разобраться. Доказать, что в числе: $(6+\sqrt{37})^{999}$ первые $999 $ цифр справа после запятой нули?

Воспользуемся сопряженным числом: $(6+\sqrt{37})^{999} = (6+\sqrt{37})^{999} + (6-\sqrt{37})^{999}-(6-\sqrt{37})^{999}$. Т.к. $(6+\sqrt{37})^{999} + (6-\sqrt{37})^{999}$ - число целое, обозначим его: $A$, тогда нужно показать, что у числа:

$A+(\sqrt{37}-6)^{999}$ справа после запятой $999 $ нулей, т.е. нужно показать, что $(\sqrt{37}-6)^{999}\leqslant 10^{-1000}$ ? Домножим и разделим на сопряженные:

$\frac{(\sqrt{37}-6)^{999} \cdot (\sqrt{37}+6)^{999}}{(\sqrt{37}+6)^{999}}=\frac{1}{(\sqrt{37}+6)^{999}} \leqslant \frac{1}{(6\cdot 2)^{999}} = \frac{1}{1.2^{999} \cdot 10^{999}} \leqslant \frac{1}{10^{1000}}$

Все ли верно?

[wrest]

Stensen в сообщении #1360457 писал(а):

Все ли верно?

Мне кажется еще было бы неплохо показать что $1,2^{999}>10^1$ хоть это и очевидно. Заодно улучшите оценку сколько там на самом деле нулей.

[Stensen]

wrest в сообщении #1360477 писал(а):

Stensen в сообщении #1360457 писал(а):

Все ли верно?

Мне кажется еще было бы неплохо показать что $1,2^{999}>10^1$ хоть это и очевидно. Заодно улучшите оценку сколько там на самом деле нулей.

Понял, спасибо