Два ответа на одну задачу

[TOTAL]

hurtsy писал(а):

ewert

Цитата:

что слово "отражение"

Если так трактовать в первом варианте, то в случае рациональных углов также будет бесконечность только периодическая.

Стул, на котором сидите, имеет периодическую бесконечность ножек.
Но различных ножек (о чем и спрашивается в задаче, читайте) всего четыре.

[hurtsy]

Total

Цитата:

Стул, на котором сидите, имеет периодическую бесконечность ножек.
Но различных ножек (о чем и спрашивается в задаче, читайте) всего четыре.

Згода. Давайте поставим перед Вашим зеркалом одну ножку. После первого цикла, ножек-отражений 4. С ножкой-прообразом 5. Уберем ножку-прообраз. Процесс возможно продолжать до ... . Мне это напоминает связь круга и круговых функций. ("а синуса волны одна за одной ..."). Ни в коем случае, не предлагаю Вам садиться на эти четыре ножки. С уважением.

[Narn]

hurtsy

Разрешите задать Вам вопрос.

Понимаете ли Вы, что такое отражение в прямой, преобразование, группа преобразований, порядок группы?
Если да - приведите, пожалуйста, определения, вдруг Вы по-своему понимаете. Когда два преобразования считаются равными? Вообще, разговор идет сейчас по принципу "в огороде бузина, а в Киеве дядька". Давайте четко уясним, что имел в виду Арнольд в своей книжке. Потом уж двинемся к бильярдам. Не отвлекаясь пока на бесконечность потенциальную и актуальную, и прочие высокие материи.

[hurtsy]

Согласен. У Вас слова мужчины а не ... .Разрешите мне ответить Вам 28 но не позднее 29. Спасибо. У меня интернет на работе, а рабочее время на исходе. С уважением,

[hurtsy]

Narn писал(а):

hurtsy

Разрешите задать Вам вопрос.

Понимаете ли Вы, что такое отражение в прямой, преобразование, группа преобразований, порядок группы?
Если да - приведите, пожалуйста, определения, вдруг Вы по-своему понимаете.

Да.
Отражение в прямой, по моему, симметрия относительно прямой плюс соблюдение принципа Ферма.Без соблюдения принципа Ферма будет полностью потеряна связь с реальными зеркалами. Преобразование я не буду определять. Отражение является преобразованием. Более того преобразование обратимое.

Цитата:

Когда два преобразования считаются равными?

С этого места начинается допрос. А к этой "высокой материи" мы не будем касаться, я так надеюсь.

Цитата:

Вообще, разговор идет сейчас по принципу "в огороде бузина, а в Киеве дядька". Давайте четко уясним, что имел в виду Арнольд в своей книжке. Потом уж двинемся к бильярдам. Не отвлекаясь пока на бесконечность потенциальную и актуальную, и прочие высокие материи.

У Вас хорошее образное мышление. Я с Вами согласен это не разговор(не дискусия). Испанцы более точно называют сие корридой.
Слово бильярд исползовано в моих цитатах только в названии книги.
Мне кажется, если Вы сбавите свой "менторский пыл", мы что нибудь выясним, без обращения непосредственно к Арнольду и Гальперину. С уважением,

[Narn]

Во-первых, никакого менторского тона у меня в мыслях не было (я на него и права-то не имею). Было а) желание убедиться, что мы с Вами разговариваем на одном языке б) лень набивать все определения самому.
Во-вторых, по теме (придется таки набивать самому, ну да ладно).
Извините за банальности, но если Вы не хотите их печатать, то придется мне. Во избежание.

Преобразование множества $G$ - это биективное отображение множества на себя. То есть это функция $f : G \to G$, имеющая обратную $f^{-1} : G \to G$ (то есть необратимых преобразований не бывает). Пусть $f,g$ - преобразования $G$, тогда можно определить их композицию $fg$ как результат последовательного применения $g$ (вначале) и $f$ (в некоторых книгах встречается и обратный порядок). То есть $(fg)(x)=f(g(x))$ для всех $x \in G$. Очевидно, что это преобразование. При этом $ff^{-1}=id$ - тождественному преобразованию, оставлющему все точки на месте. Группа преобразований - это (непустое) подмножество $\Gamma$ множества всех преобразований, обладающее тем свойством, что если $f,g \in \Gamma$, то $fg, f^{-1} \in \Gamma$. Если это множество конечно, то число его элементов называется порядком группы. Отражение в прямой - это преобразование, которое каждую точку плоскости отображает в симметричную относительно данной прямой точку (точки самой прямой переходят, естественно, в себя). Никакой принцип Ферма здесь близко не ночевал. Обратное преобразование - это, очевидно, то же самое отражение ($f=f^{-1}$). Теперь возьмем две пересекающиеся прямые, пусть $f$ -это отражение в одной из них, $g$ - в другой. Минимальная группа всех преобразований плоскости, содержащая $f$ и $g$ (она называется порожденной этими преобразованиями) состоит, как легко понять, из тождественного отображения и отображений вида $f, fg, gf, fgf, gfg, fgfg, gfgf, \dots$.

Вот теперь я объясню, почему я задал вопрос о равенстве двух преобразований. Два преобразования $h_1, h_2$ равны, если $h_1(x)=h_2(x)$ для всех $x$. Дело в том, что если функции дать нечеткое определение (функция - это правило и т.д), то Вы можете сказать, что $f$ и $fff$ - это разные преобразования. Ведь одно из них работает по правилу "отрази в прямой один раз", а второе - по правилу "отрази в прямой три раза". Так вот, эти преобразования равны, потому что на все точки плоскости они действуют одинаково. Это одна и та же функция, записанная по-разному. Таким образом, теорема в книжке Арнольда утверждает, что если прямые пересекаются под углом, несозмеримым с $2 \pi$, то наша группа бесконечна, а иначе - конечна. Если все, что я тут понаписал, для Вас очевидно и известно, пойдем к книжке про бильярды.

Теперь я приведу цитаты, которые меня совершенно озадачили (смысла их я не понимаю совсем):

hurtsy писал(а):

Если так трактовать в первом варианте, то в случае рациональных углов также будет бесконечность только периодическая.

Периодические бесконечности мне неизвестны.

hurtsy писал(а):

Если это отражения то после количества отражений из ответа второй задачи, нарушается принцип Ферма. Именно это, мне кажется, имел в виду проф. Снейп. С уважением.

Опять - при чем тут принцип Ферма?

hurtsy писал(а):

Total

Цитата:

Стул, на котором сидите, имеет периодическую бесконечность ножек.
Но различных ножек (о чем и спрашивается в задаче, читайте) всего четыре.

Згода. Давайте поставим перед Вашим зеркалом одну ножку. После первого цикла, ножек-отражений 4. С ножкой-прообразом 5. Уберем ножку-прообраз. Процесс возможно продолжать до ... . Мне это напоминает связь круга и круговых функций. ("а синуса волны одна за одной ..."). Ни в коем случае, не предлагаю Вам садиться на эти четыре ножки. С уважением.

TOTAL, я думаю, употребил словосочетание "периодическая бесконечность" вслед за Вами. В Вашем сообщении мне вообще ничего непонятно (особенно какая-то "Згода"). Кажется, это имеет отношение к вопросу о равенстве преобразований (и вообще функций).

PS. Написание данного поста было проверкой на выносливость. Прошу прощения, если многабукав.

[ewert]

Narn писал(а):

ничего непонятно (особенно какая-то "Згода"). Кажется,

Он из Киева.

[Narn]

ewert писал(а):

Narn писал(а):

ничего непонятно (особенно какая-то "Згода"). Кажется,

Он из Киева.

А, спасибо, погуглил. А я думал, это какая-то опечатка (3 года ).

[MaximKat]

"Згода"="Согласие"

[hurtsy]

Ответ Narn.
Согласен. "Мы все учились понемногу ...". Я принимаю Ваш "разговорник" и постараюсь не сильно от него отклоняться.В книге Арнольда

Цитата:

Рассмотрим, например, на плоскости два зеркала.

Я это воспринимаю как угол образованный двумя лучами.Лучи (зеркала, имеют отражающий слой с одной стороны). Преобразование происходит из части плоскости ограниченной отражающими слоями в мнимую плоскость(зазеркалье).Вот для этого построения нужен принцип Ферма. Он(принцип) здесь не "ночлежник", а "рабочая лошадка". А для простоты построения можно применить симметрию относительно луча.Именно поэтому отражение не является преобразованием из плоскости в себя же(плоскость). В Зазеркалье(Льюис Керрол) можно продолжать производить преобразования, но лошадку нельзя забывать.После записанного у Гальперина количества отражений лошадка перестает работать. Это легко видеть, если проделать всё в Автокаде. Поэтому я согласен с Гальпериным. А приписывать Арнольду упоминание симметрии относительно прямой слишком тривиально для Владимира Игоревича, скорее это оговорка, потому что эта часть цитаты в контексте не задействована. Это все что я хочу сказать по теме.

Остальное будет относиться к "разговорнику".
Згода -- это не является опиской. Я имею слабую квалификацию в шахматах, поэтому меня часто учат "здесь подставок не делают". "Згода" увеличила количество сообщений в теме.
Говорить о ком-либо на форуме в третьем лице мне кажется не корректным.
Вместо "ничего непонятно" лучше использовать "всё непонятно" или "понятно ничего".
В колонке Автор всегда написано откуда автор( у меня Киев). Ваш Трантор чуть не сшиб меня с ног. Для меня Азимов ключевое слово.
Не люблю когда скучно и много буковок. Надеюсь мы с Вами "сыграемся". Я играю на гитаре. С уважением,

[Алексей К.]

hurtsy в сообщении #138458 писал(а):

...А я думал Вы "впариваете" очередной протон...
Я не могу, жду толкового ответа на своей теме.

Как я уже говорил (автору), толкового ответа от меня ждать нельзя. Если всё же (вынужденно) отвечаю в совсем неинтересной для меня теме, то пытаюсь максимально снизить нетолковость ответа. Профукав в своё время теорию групп, я вместо неё выучил Постскрипт. И Постскрипт мне говорит следующее:

Обсуждаются две задачи --- красная и зелёная:
Ничего общего между ними нет.


А может я и на этот раз не понял, как я не понимаю, например, ни целых абзацев в этой теме, ни замечаний про лошадок, ни Ваших шуток про протоны, .

[hurtsy]

Спасибо, за картинку. 1)"Зеленая задача" у меня не вызывает возражений. Хотя хотелось бы исходный угол и все последующие отражения угла проиндексировать.И хорошо бы показать конечность движения шара внутрь угла. Я скопировал Вашу картинку, отредактировал, как мне хотелось, но уперся в то, что нужен сервер для размещения отредактированного. Может кто то подскажет. Заранее благодарен.
2) Красная задача. На первый взгляд всё хорошо. Но, как учили когда то в школе, что это физически? Начальный красный отрезок(вектор).
Симметричный ему отрезок в примычном углу тоже отрезок. И для теории групп зеркальных симметрий(симметрия относительно плоскости) это( красная и зелёная) разные задачи.
У Арнольда рассматривается группа отражений. Поэтому все отрезки начиная со второго мнимые. Не может мнимый отрезок совпадать с дествительным. И о конечности группы, в случае угла соизмеримиго с $\pi$ не имеет смысла говорить.
То есть в случае двух разных задач, я согласен на бесконечность. "числа разных преобразований, полученных комбинированием отражений в этих зеркалах"(Арнольд), а далее должно быть бесконечны независимо от соизмеримости(так мне кажется).

В случае если это одна и та же задача прав Гальперин. С уважением,

[ewert]

hurtsy писал(а):

Алексей К. писал(а):

Постскрипт мне говорит следующее:

Обсуждаются две задачи --- красная и зелёная:

Спасибо, за картинку. 1)"Зеленая задача" у меня не вызывает возражений.

А вот у меня, например, вызывает, причём категорические. Зелёные лошадки на этой картинке совершенно откровенно противоречат красным на этой же картинке.

[Someone]

hurtsy в сообщении #138775 писал(а):

Поэтому все отрезки начиная со второго мнимые.

Что значит - мнимые? Чем второй отрезок хуже первого? Они оба являются отражениями друг друга относительно прямой.

[hurtsy]

Someone

Цитата:

Что значит - мнимые? Чем второй отрезок хуже первого?

Мнимое - понятие из геометрической оптики. Чтобы нати место точки в зазеркалье, достаточно найти пересечение двух отраженных лучей образованных двумя разными лучами падающими из точки прообраза.

ewert

Цитата:

Зелёные лошадки на этой картинке совершенно откровенно противоречат красным на этой же картинке.

Я не сказал, что нет противоречий. Я сказал, что я не возражаю и готов обсуждать в таком виде.
Я предлагаю Алексею К. нарисовать исходный угол 120 градусов. Мне это сделать не "облом".(Я не знаю куда это разместить, чтобы было доступно форуму. У меня нет сервера.) И построить отражение отрезка соединяющего две стороны угла по правилам геометрической оптики. Тогда можно будет понять, что лошадка о которой я говорил это принцип Ферма а не разноцветные отрезки.

С уважением,