Задача на предел последовательности.

[bitcoin]

Помогите, пожалуйста, разобраться:
Дана последовательность $a_n=\sqrt[n]{n}$. Найти номер $N$, такой что для $n>N$ выполняется неравенство $a_n<1,007$.

Я знаю как доказать, что предел последовательности равен $1$, но как найти номер? Попытки ниже:

$n^{\frac1n}<1,007$

$\dfrac{\ln{n}}{n}<\ln(1,007)$

$\ln(n)<Cn$, где $C=\ln(1,007)$,

Дальше вижу только графический способ решения. А есть ли иные варианты?

[grizzly]

bitcoin в сообщении #1359662 писал(а):

А есть ли иные варианты?

Бином Ньютона?

[bitcoin]

Спасибо, но как? $n^{\frac1n}=(1+(n-1))^{\frac1n}=\sum C_n^k(n-1)^{\frac{1}{k}}$? Так или нет?

[mihaild]

Какой-то у вас странный бином Ньютона... Подставьте например $n = 1$ - в левой части $1$, в правой - все слагаемые нулевые.

[bitcoin]

Да, действительно, спасибо. Я просто взял в формуле:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n$

Вместо $a=1$, $b=n-1$. Но я понял в чем дело, просто тут нецелая степень.

Нужно было в $n^{\frac1n}$ сделать замену $n=\frac{1}{k}$, тогда получим $\left(\dfrac{1}{k}\right)^k=\left(1+\dfrac{1}{k}-1\right)^k=\displaystyle\sum_{m=0}^k{k\choose m}\left(\dfrac{1}{k}-1\right)^m$

Но это ведь ничего не дает. Явно нужно как-то иначе. Можете подсказать, пожалуйста, откуда должен возникнуть бином, пожалуйста, даже если вышенаписанное есть ахинея)

[mihaild]

Подсказка: вам нужно неравенство $n^\frac{1}{n} < 1 + 0.007$. А корень $n$-й степени - функция монотонная и обратимая...

[bitcoin]

А, все понял, там также, как и с доказательством предела нужно представлять бином:

$n=(1+(n^{1/n}-1))^{n}=1+n(n^{1/n}-1)+\frac{n(n-1)}{2}(n^{1/n}-1)^{2}+...+(n^{1/n}-1)^{n}$

Отсюда получаем, что $n>\frac{n(n-1)}{2}(n^{1/n}-1)^{2}\Rightarrow |n^{1/n}-1|<\sqrt{\frac{2}{n-1}}$

Модуль можно снять, получим $n^{1/n}<1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}$

Тогда мы можем выбрать $n$ так, чтобы $1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}<1,007$, тогда $\frac{2}{n-1}<0,007^2$, а тогда $n>1+\frac{2}{0,007^2}$.

$N=2+\left[\frac{2}{0,007^2}\right]$

Верно ли это?

-- 08.12.2018, 02:41 --

mihaild в сообщении #1359695 писал(а):

Подсказка: вам нужно неравенство $n^\frac{1}{n} < 1 + 0.007$. А корень $n$-й степени - функция монотонная и обратимая...

Сейчас подумаю над вашим вариантом...

[bitcoin]

Не, я что-то не допер, не понял зачем нужна обратимость и монотонность, к сожалению

[Papazol]

bitcoin в сообщении #1359699 писал(а):

Не, я что-то не допер, не понял зачем нужна обратимость и монотонность, к сожалению

Из монотонности вытекает, что если вы доказали что некоторый член последовательности оказался в окрестности точки, то и все остальные тоже будут в этой окрестности, последовательность монотонно стремится к пределу, нет такого, что вдруг пойдет обратную сторону и на каком-то номере выйдет за пределы окрестности, начнет удаляться от предела.

[grizzly]

bitcoin
Да, Вы не ищете лёгких путей. Всего-то нужно записать $n<(1+0.007)^n$ и убедиться (несложно в уме), что это неравенство выполнено, начиная с некоторого $n_0$.

[mihaild]

Papazol в сообщении #1359707 писал(а):

Из монотонности вытекает, что если вы доказали что некоторый член последовательности оказался в окрестности точки, то и все остальные тоже будут в этой окрестности

Нет, монотонность нужна не за этим (и последовательность $n^\frac{1}{n}$ сама по себе не монотонна).

Монотоннось нужна чтобы от неравенства $x^\frac{1}{n} < y$ перейти к неравенству $x < y^n$.