Общий вид на основе рекуррентного соотношения

[kthxbye]

Для $k>0$, $n>0$, $m\geqslant0$ имеем рекуррентное соотношение

$$p_k(n,m)=k(n-1)!\sum\limits_{s=0}^{n-1}\frac{p_{k-1}(s+1,m+1)+p_{k-1}(m+1,s)}{s!}$$

а также

$$p_0(n,m)=\begin{cases} (n-1)!,&\text{$n>0, m=0$}\\ 0,&\text{$n>0, m>0$} \end{cases}$$

т.е. $n=0$ мы совсем не рассматриваем. В общем виде

$$p_{k}(n,m)=k!\sum\limits_{s=0}^{k-1}\binom{n+\left\lfloor\frac{k+s}{2}\right\rfloor-1}{n+s-1}\binom{m+\left\lfloor\frac{k+s-1}{2}\right\rfloor}{m+s}\frac{(n+s-1)!(m+s)!}{s!}$$

что, опять-таки, справедливо для $k>0$, $n>0$, $m\geqslant0$.

Общий вид я получил довольно примитивным образом и теперь ищу более емкий и прозрачный переход. Если вопрос вам вдруг кажется тривиальным, будьте любезны намекнуть куда копать.