Проверить, является ли оператор нормальным, самосопряженным

[artey]

Здравствуйте, дано вот такое задание.
Для оператора $T:{\mathbb{C}^3} \to {\mathbb{C}^3}$, заданного формулой $T({x_1},{x_2},{x_3}) = (2{x_1} + 2{x_3},4{x_2},2{x_1} + 2{x_3})$:
1. Проверить, является ли оператор T:
а) нормальным
б) самосопряженным
с) унитарным
д) положительным.
2. Найти $\left\| T \right\|,\sqrt T ,{T^4} - 2{T^2} + T\ $
3. Найти спектральное разложение оператора T.
Попробовал решить пункт 1.
Составил матрицу $\[T = \left( {\begin{array}{\cdot{20}{c}} 2&0&2 \\ 0&4&0 \\ 2&0&2 \end{array}} \right)\]$
а) Оператор $T$ нормальный, так как $T{T^*} = {T^*}T,{T^*} = {T^T} = T\ $;
б)$T$-самосопряженный, так как $T = {T^*}$;
с) $T$-не унитарный, так как $T{T^*} = {T^*}T \ne I\,$ $I$-единичная матрица;
д) $T$- положительный, так как его спектр (множество собственных значений матрицы) $\lambda = (0,4,4)$лежит на положительной полуоси $[0, +\infty)$
Правильно я сделал?

[vpb]

Да.

[artey]

Спасибо, что проверили. У меня вопрос: как решать пункты 2,3? На вики сказано, что спектральное разложение матрицы имеет вид $\[T = VL{V^{ - 1}}\]$, где $V$-матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $T$,$L$-диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали,$\[{V^{ - 1}}\]$-матрица, обратная матрице $V$.
В моем случае получаются матрицы:
$\[V = \left( {\begin{array}{\cdot{20}{c}} { - 0.707}&{0.641}&{0.641} \\ 0&{0.423}&{0.423} \\ {0.707}&{0.641}&{0.641} \end{array}} \right)\]$, $\[L = \left( {\begin{array}{\cdot{20}{c}} 0&0&0 \\ 0&4&0 \\ 0&0&4 \end{array}} \right)\]$. Но определитель матрицы $V=0$ . Тогда $\[{V^{ - 1}}\] $ не существует и спектрального разложения не существует?

[thething]

artey в сообщении #1359096 писал(а):

как решать пункты 2,3?

Прямо по определениям. Как задается матричная норма? Что такое корень из оператора (матрицы), про степени матрицы вообще упоминать нужно? Определение спектрального разложения знаете?

[mihaild]

artey в сообщении #1359096 писал(а):

$V$-матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $T$

Нужно выбрать не какие угодно собственные вектора, а собственный базис. Найдите еще один собственный вектор, отвечающий собственному значению $4$, ортогональный уже выбранному.

[artey]

thething в сообщении #1359100 писал(а):

Прямо по определениям. Как задается матричная норма? Что такое корень из оператора (матрицы)?

Так для норм есть несколько формул, например, $\[{\left\| T \right\|_1} = \mathop {\max}\limits_{1 \leqslant j \leqslant n} \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{t_{ij}}} \right|}\], подчиненная векторной норме $\[{\left\| x \right\|_1} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i}} \right|} \]$ или $\[{\left\| T \right\|_\infty } = \mathop {\max}\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {{t_{ij}}} \right|} \] $, подчиненная векторной норме $\[{\left\| x \right\|_\infty } = \mathop {\max}\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \left| {{x_i}} \right|\]$. Есть и еще другие формулы для вычисления нормы. Можно по любой вычислить?

mihaild в сообщении #1359102 писал(а):

artey в сообщении #1359096 писал(а):

$V$-матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $T$

Нужно выбрать не какие угодно собственные вектора, а собственный базис. Найдите еще один собственный вектор, отвечающий собственному значению $4$, ортогональный уже выбранному.

Не понял этого момента. Для собственного значения $4$ будет же один и тот же собственный вектор?

[mihaild]

artey в сообщении #1359107 писал(а):

Можно по любой вычислить?

А это уже вопрос к учебнику.
(я бы предположил, что речь о спектральной норме, но это угадайка)

artey в сообщении #1359107 писал(а):

Для собственного значения $4$ будет же один и тот же собственный вектор?

Какова размерность подпространства, отвечающего собственному значению $4$?

[thething]

artey в сообщении #1359107 писал(а):

Так для норм есть несколько формул

Зависят от пространства, обычно в формулировке указывается, бесконечность там, единичка, двоечка.. Если нет, то, наверное, надо, как на практике давали.

artey в сообщении #1359107 писал(а):

Для собственного значения $4$ будет же один и тот же собственный вектор?

Хм, интересно, а как Вы считаете собственные вектора, если не понимаете, что их много (соответствующих одному и тому же собственному значению)? Да и чего-то они у Вас какие-то неестественные получились.

[artey]

mihaild в сообщении #1359113 писал(а):

Какова размерность подпространства, отвечающего собственному значению $4$?

3?

thething в сообщении #1359115 писал(а):

Хм, интересно, а как Вы считаете собственные вектора, если не понимаете, что их много (соответствующих одному и тому же собственному значению)? Да и чего-то они у Вас какие-то неестественные получились.

В Mathcad считал с помощью функции eigenvec

-- 06.12.2018, 08:47 --

thething в сообщении #1359115 писал(а):

Зависят от пространства, обычно в формулировке указывается, бесконечность там, единичка, двоечка.. Если нет, то, наверное, надо, как на практике давали.

Если оператор задан так,то норму по какой формуле нужно считать?

artey в сообщении #1359079 писал(а):

$T:{\mathbb{C}^3} \to {\mathbb{C}^3}$,

[artey]

Всё с собственными векторами разобрался, спектральное разложение выполнил, и корень квадратный из матрицы посчитал.Остался открытым только вопрос с нормой.

[thething]

artey в сообщении #1359174 писал(а):

Если оператор задан так

Это ни о чём не говорит. Вот если бы он был задан так $T:{\mathbb{C}^3_1} \to {\mathbb{C}^3_1}$, то его норма была бы равна $\sum\limits_{i=1}^{3}\max\limits_{1\leqslant j\leqslant3}\left\lvert a_{ij}\right\rvert$. Ну и другие формулы при других заданиях нижнего индекса. Посчитайте, короче, по всем формулам или уточняйте условие.

[thething]

Хотя, если речь идёт о нормальном операторе, то, возможно, пространство подразумевается гильбертовым, а тогда норма оператора просто равна максимальному из модулей собственных значений.