DeBill, понятия "пространство" и всех прилегающих к нему я ещё не знаю, нужно справиться с этой задачей исключительно с помощью того, что я уже прошёл.
vpb, если я правильно понимаю, то, под подполугруппой группы вы подразумеваете полугруппу, являющуюся подмножеством данной группы, но если полугруппа это множество на котором задано ассоциативное умножение (допустим даже не выводящее за пределы данного множества), то вот вам контрпример: пусть
- множество всех подстановок длины 4, тогда оно является группой, рассмотрим следующее его подмножество:
и оно, как нетрудно проверить является подполугруппой
, однако не является подгруппой. Если же вы под полугруппой понимали полугруппу, являющуюся подгруппой, то в предложенном вами плане доказательства первый пункт - это тождество и его не надо доказывать.
В общем хочу предложить вам то, что за это время удалось установить:
во-первых мне не удалось понять, как переформулировать коммутативность перестановок. Пусть
где
- независимые циклы (ни один из них не равен единичной или по-другому эквивалентной подстановке), в таком случае
такое, что
подбирается следующим образом: пусть
и
- независимые циклы одинаковой длины
и пусть
, где
- например, наименьшее возможное, и
, где
- некоторый произвольный параметр, удовлетворяющий этому условию и подбираемый для выбранного цикла
. Тогда
. Таким образом
, как нетрудно проверить, отображает изоморфно (если так можно выразиться) цикл
в цикл
причём единственная свобода данного отображения заключается в выборе
(заметим, что
может выбираться из самого цикла
и тогда будем говорить, что этот цикл отображается в себя). Таким образом свобода изменения
полностью ограничивается подбором параметров
и остальными параметрами, число которых равно числу
таких
, что
(число независимых циклов длины 1). Отсюда непонятно, как выразить
через
используя данные параметры, хотя эти параметры и эти независимые циклы полностью определяют
. В общем приходится довольствоваться отнюдь не кратким представлением о том, как строится
по
.
Итак, следующий шаг такой, покажем, что длины всех независимых циклов, формирующих
равны
(свойство 3). Так как соблюдается свойство 1, то количество полностью различных подстановок равно
, но если есть независимые циклы разной длины, то для какой-то выбранной длины
с количеством
циклов данной длины в подстановке
существует не более
полностью различных подстановок, противоречие. Следовательно мы имеем
независимых циклов длины
, и
.
(Всюду далее будем считать, что
- это также и множество всех подстановок соответствующих матрицам из
, неприятностей от такого допущения быть не должно).
Далее у меня получилось доказать, что в множестве
есть единичная матрица (и соответствующая ей эквивалентная подстановка (свойство 4), для этого достаточно, используя свойство 3, которое применимо ко всем подстановкам из
, показать, что если в некоторой
из
, то
и
и т.д.), а также, что для любой матрицы из
, в
есть обратная ей матрица (соответственно для любой подстановки
в
, в
есть обратная подстановка (свойство 5), для этого также используя свойство 3, достаточно показать, что если в подстановке
хотя бы один цикл из
, допустим
, отображается как
, то есть на теле данного цикла отображение
обратно
, то автоматически
).
Всё это очень громоздко, к сожалению, и используя свойство 3 и даже допустим свойства 4 и 5 непонятно, как доказать свойство 6 (то есть, что операция умножения подстановок не выводит за границы
). Нужны ещё идеи.