ОДУ 3 порядка

[Abel's friend]

Всем доброго времени суток!
Имеется такое ОДУ:
$y''' (y')^2 = 1$
Применим формулы понижения порядка:
$y' = t; t=t(x)$
$t'' t^2 = 1$
$t' = p; p=p(t)$
$p p' t^2 = 1$
Решая, получаем:
$t'=p= ±\sqrt {C_1- \frac 2 t}$
Переходя к предыдущей замене, получаем нелинейное ДУ.
Соотвественно, мы имеем уже обычное ДУ от меньшего числа переменных.
$-\frac {1} {C_1 ^ \frac 3 2} \ln \frac {\sqrt{C_1} + \sqrt{C_1 - \frac {2} {t}}} {\sqrt{C_1} - \sqrt{C_1 - \frac 2 t}} - \frac {t^2} {2} \sqrt{C_1 - \frac 2 t}}} = ±x + C_2 $
Но как отсюда получить выражение y через его производную, чтобы задать решение в параметрической форме?
Пожалуйста, подскажите.

[thething]

$\frac{dy}{dx}=t$.

[Abel's friend]

Скажите, пожалуйста, я Вас правильно понял?
Имеется такое ОДУ:
$y''' (y')^2 = 1$
Применим формулы понижения порядка:
$y' = t; t=t(x)$
$t'' t^2 = 1$
$t' = p; p=p(t)$
$p p' t^2 = 1$
Решая, получаем:
$t'=p= ±\sqrt {C_1- \frac 2 t}$
$\frac {1} {C_1 ^ \frac 3 2} \ln \frac {\sqrt{C_1} + \sqrt{C_1 - \frac {2} {t}}} {\sqrt{C_1} - \sqrt{C_1 - \frac 2 t}} - \frac {t^2} {2} \sqrt{C_1 - \frac 2 t}}} = ±x + C_2 $
А далее по Вашей методе:
$\frac {dx} {dy} = \frac 1 t; y = \int t dx$
$(\frac {2} {C_1 ^ \frac 3 2} \frac {1} {t^2 \sqrt{C_1-\frac 2 t} \sqrt{C_1} - \sqrt{C_1 - \frac 2 t}} - t \sqrt{C_1 - \frac 2 t} - \frac {1} {\sqrt{C_1-\frac 2 t}})dt= ±\frac {dy} {t}$
$-\frac {-32C_1+61} {12 C_1 ^ \frac 5 2} \ln \frac {\sqrt{C_1} \sqrt{C_1 - \frac {2} {t}}} {\sqrt{C_1} - \sqrt{C_1 - \frac 2 t}} + \frac {1} {2C_1 ^2 (\sqrt{C_1} - \sqrt{C_1 - \frac 2 t})} - \frac {t^3} {3} - \frac {2t^2} {3C_1} \sqrt{C_1 - \frac 2 t}}}+\frac {8t} {3C_1 ^2} \sqrt{C_1 - \frac 2 t}}} = ±y + C_3 $

[thething]

Эээ, не вникал в кучу страшных формул, а имел я ввиду то, что $dy=tdx$, откуда, зная $dx=\frac{dt}{±\sqrt {C_1- \frac 2 t}}$ получаем выражение для $y$ через $t$.

[Abel's friend]

Всё, большое спасибо!
А то сидел эн часов, пытаясь его решить...