Помогите найти спектр и волновые функции

[IdaRubin]

Помогите, пожалуйста, найти спектр и волновые функции такого гамильтониана: $H=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}+\frac{\alpha}{2}(x_1-x_2)^2$. Нужно ввести новую переменную $r=x_1-x_2$. Тогда $\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}=\frac{1}{m}p_r^2$. Да?

[Eule_A]

У Вас стандартная задача двух тел. В общем случае разбирается хотя бы в третьем томе Ландау.

[IdaRubin]

Но там же в потенциале квадратичная зависимость, или я чего-то не понимаю?

[Eule_A]

IdaRubin в сообщении #1356861 писал(а):

Но там же в потенциале квадратичная зависимость, или я чего-то не понимаю?

Наверное, я чего-то не понимаю: чем Вам квадрат не нравится? Хороший такой...

[g______d]

IdaRubin в сообщении #1356839 писал(а):

Нужно ввести новую переменную $r=x_1-x_2$.

Да, поскольку массы одинаковые, можно повернуть координаты на 45 градусов и получить задачу с разделяющимися переменными. По каждой из новых координат будет хорошо известная (я надеюсь) задача.

[Eule_A]

g______d в сообщении #1356869 писал(а):

Да, поскольку массы одинаковые

Да массы могут и не быть одинаковыми - всё равно переход к относительной координате и координате центра инерции сводит задачу к хорошо известной. Просто тут чуть проще формулы выглядят, это да. Но всё-таки хотелось бы понять, чем квадрат не угодил...

[IdaRubin]

По-моему, задача двух тел тут неприменима. Задача ведь про колебания?

[Eule_A]

IdaRubin в сообщении #1357187 писал(а):

Задача ведь про колебания?

Ну и что? Представьте себе систему чисто классическую - вроде двух тел, соединённых пружиной. Колебания? Но и задача двух тел.

В общем, есть предложение не гадать на уравнении Шрёдингера, а ввести переменные стандартным для задачи двух тел образом и посмотреть, что получится. Пустоватый разговор иначе идёт.

[IdaRubin]

Предложение хорошее, но мне кажется, что запуталась в выражении через частные производные

[Eule_A]

IdaRubin
Ну так Вы выкладки-то приведите здесь. Иначе по правилам придётся тему отправить в Карантин. Не может разговор о достаточно простой квантовомеханической задаче идти чисто словесно.
И ещё раз (в последний) советую: загляните в учебник по квантовой механике в раздел о задаче двух тел. Должно помочь.

[IdaRubin]

Проверьте, пожалуйста, это правильно? Если да, то тогда всё поняла
$ r=r_2-r_1\\ R=\frac{r_1+r_2}{2}\\ \frac{\partial}{\partial x_1}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial r_x}{\partial x_1}+\frac{\partial}{\partial X}\frac{\partial R_x}{\partial x_1}=-\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial X} $